CF1379C Choosing flowers 题解

解题思路

不是那么显然的，当只选一种 $b_i$ 或全选 $a_i$ 时最优。那么我们可以先对 $a_i$ 从大到小排序，枚举每一个 $b_i$，然后二分找到第一个大于等于 $b_i$ 的 $a_j$，判断 $a_1\sim a_j$ 中是否包含 $a_i$，如果包含，当前的答案为 ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^j{a}_k\right)+b_i\times (n-j)}$，否则当前答案为 ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^j{a}_k\right)+a_i+b_i\times (n-j-1)}$，最后对于所有答案取最大值即可。

对于只选一种 $b_i$ 最优证明如下：

• 若当前 $b_i$ 最大，若 $\mathrm{\exists }{a}_j>b_i$，那么 $a_j$ 一定位于前缀和中，此时若选择 $b_i$ 且选择 $b_j$，那么可以看作用 $b_j$ 替换了一个 $b_i$，又有 $b_i>b_j$，那么答案一定小于只选一种的答案；若 $a_j<b_i$，那么一定不会选择用更小的 $a_j$ 替换更大的 $b_i$；
• 若当前 $b_i$ 不为最大，若 $\mathrm{\exists }{a}_j>b_i$，在 $b_j$ 大于 $b_i$ 时，全选 $b_i$ 更优，在 $b_j<b_i$ 时，同上；若 $a_j<b_i$，那么若 $b_j>b_i$，则答案一定会在全选 $b_j$ 或全选 $b_i$ 中取，证明如上，若 $b_j<b_i$，则一定不优；
• 有 $a_j=b_i$ 或 $b_j=b_i$ 情况均同上。

综上，只选一种 $b_i$ 或全选 $a_i$ 为最优决策，因此可以枚举找到答案。

AC 代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#define N 100005
#define ll long long
int n,m;
struct Flower{
    int a,b;
}a[N];ll sum[N];
inline bool cmp(Flower x,Flower y){
    if(x.a!=y.a)
        return x.a>y.a;
    return x.b>y.b;
}
inline int Upper(int x){
    int l=1,r=m,res=0,mid;
    while(l<=r){
        mid=(l+r+1)>>1;
        if(a[mid].a>=x){
            res=mid;
            l=mid+1;
        }else r=mid-1;
    }return res;
}
inline void work(){
    scanf("%d%d",&n,&m);int k=m;
    int maxt=-1, maxi=0;ll ans=0;
    for(register int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d",&a[i].a);
        scanf("%d",&a[i].b);
        if(a[i].b>maxt) maxt=a[i].b;
    }std::sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for(register int i=1;i<=m;++i)
        sum[i]=sum[i-1]+a[i].a;
    if(n<=m) ans=sum[n];
    else ans=sum[m]+1ll*(n-m)*maxt;
    for(register int i=1;i<=m;++i){
        int x=Upper(a[i].b);
        if(x>n) continue;
        ll now=sum[x],res;
        if(x>=i) res=1ll*a[i].b*(n-x);
        else res=a[i].a+1ll*(n-1-x)*a[i].b;
        if(now+res>ans) ans=now+res;
    }printf("%lld\n",ans);
}
signed main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--) work();
}