CF1572B Xor of 3 题解

解题思路

首先我们知道，当序列中有奇数个 $1$ 的时候无解，因为每次操作只会增加或减少 $2$ 或 $0$ 个 $1$，当序列中有奇数个 $1$ 的时候，一定会存在一个 $1$ 无法被消除。因此，在这种情况下，直接输出 NO 即可。

不难发现，序列的异或和为一定值，证明如下：

• 令 $sx$ 表示每一次操作选取的三个数的异或和，令 $s$ 表示整个序列的异或和；
• 每次操作可以看作删去三个数、添加三个数，不妨设这三个数分别为 $x_1,x_2,x_3$，那么在删去三个数的时候，$s\leftarrow s\oplus (x_1\oplus x_2\oplus x_3)$，替换一下可得 $s\leftarrow s\oplus sx$，新添入三个 $sx$ 后 $s\leftarrow (s\oplus sx)\oplus sx\oplus sx\oplus sx$，打开括号后可得 $s\leftarrow s$，异或和不变。

显然直接从左往右扫一次是可以更新形如 011110 和 10111 的段的，但是序列中显然还可能存在形如 01000010 的段，这种情况下直接扫描是无法更新的。我们考虑将后面的段转化为前面的段。由于每次操作最多会产生 $2$ 的影响，我们可以每次枚举 $i=2\cdot k+1,k\in \mathbb{N}$ 的位置，这样对于最终的答案是没有影响的。由于序列前面某一段可能需要倒序更新，而后面的段只需要直接暴力修改，那么我们考虑找到第一段需要倒序修改的段，由于从 $1$ 开始的一段连续的 $0$ 不管是否修改都没有影响，那么一段需要修改的段一定不能只包括 $0$。同理，由一段中需要有偶数个 $1$ 才能被消除，那么第一段中也应该包含偶数个 $1$。由此，我们需要找到第一段包含偶数个 $1$ 的且右端为奇数的段，直接枚举即可。

在全部转化后，再从左往右扫一次就可以得到答案了。

总共需要 $O(n)$ 次操作，可以通过本题。

AC 代码

#include<vector>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 200005
int n,a[N],sum[N];
inline void work(){
    scanf("%d",&n);std::vector<int> ans;int _1=0;
    for(register int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(register int i=1;i<=n;++i) if(a[i]==1) ++_1;
    if(_1&1){puts("NO");return;}
    for(register int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    int pos=0;for(register int i=1;i<=n;++i)
        if((i&1)&&sum[i]%2==0){pos=i;break;}
    if(!pos){puts("NO");return;}
    for(register int i=pos-2;i>=1;i-=2) ans.push_back(i);
    for(register int i=pos+1;i<=n-2;i+=2) ans.push_back(i);
    for(register int i=1;i<=n-2;i+=2) ans.push_back(i);
    puts("YES"); printf("%d\n",ans.size()); if(ans.empty()) return;
    for(auto now:ans) printf("%d ",now); putchar('\n');
}signed main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--) work();}