P3829 [SHOI2012] 信用卡凸包 题解

解题思路

不难的题，但是细节有亿点多……

观察三组样例不难发现，我们可以把所有的信用卡的圆角去掉，变成一个长 $b-2\cdot r$，宽 $a-2\cdot r$ 的矩形。考虑将这个矩形的四个顶点加入一个点集中，然后求凸包，答案即为这个凸包的周长加上一个半径为 $r$ 的 ⚪ 的周长。

那么怎么求出凸包周长呢？显然的，我们在求出所有点的坐标后跑一遍 Andrew 或者 Graham 即可。那么现在问题变为如何求出所有点的坐标。

因为题目中已经给出了每张信用卡中心的坐标，那么我们可以很轻松地得到每张信用卡旋转前矩形四个顶点的坐标（其实就是四分之一圆的圆心），那么现在来解决旋转的问题。

我们分别对于每张信用卡进行考虑。我们不妨将中心移到单位圆的圆心上，那么我们根据顶点到中心的 $x$、$y$ 坐标之差（注意一定是按照顶点减中心的顺序），通过 atan2 函数就可以方便的算出当前顶点移动后与 $x$ 轴的夹角大小。那么旋转就相当于是给夹角加上了一个度数，我们加上这个度数后直接用 $\sin$ 和 $\cos$ 的值计算新得到的顶点坐标即可。

注意事项

• atan2 函数使用时应该把 $y$ 放前面，$x$ 放后面；
• 对于所有点按极角排序后一定要去重，不然一个点可能被多次计算；
• 判断两个点是否相等时要加入精度限制，不然去重等于没去；
• $\pi$ 的值尽量取大一点，不然误差还是挺大的，尤其在乘以一个大的 $r$ 后。

AC 代码

似乎有点长？

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<valarray>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#define eps 1e-9
#define N 40005
struct Point{
    double x,y;
    //向量初始化
    Point():x(0),y(0){}
    Point(
        double a,
        double b
    ):x(a),y(b){}
    //向量加
    inline Point operator +(
        const Point &b
    ) const {
        return (Point){x+b.x,y+b.y};
    }
    //向量减
    inline Point operator -(
        const Point &b
    ) const {
        return (Point){x-b.x,y-b.y};
    }
    //向量乘一个数
    inline Point operator *(
        const double &b
    ) const {
        return (Point){x*b,y*b};
    }
    //向量除一个数
    inline Point operator /(
        const double &b
    ) const {
        return (Point){x/b,y/b};
    }
    //向量点乘
    inline double operator ^(
        const Point &b
    ) const {
        return x*b.x+y*b.y;
    }
    //向量叉乘
    inline double operator *(
        const Point &b
    ) const {
        return x*b.y-y*b.x;
    }
    inline bool operator ==(
        const Point &b
    ) const {
        bool _1=fabs(x-b.x)<eps;
        bool _2=fabs(y-b.y)<eps;
        return _1&&_2;
    }
}a[N],sta[N];
inline double dis(
    double x1,double y1,
    double x2,double y2
){  
    double Ox=(x1-x2)*(x1-x2);
    double Oy=(y1-y2)*(y1-y2);
    return(double)sqrt(Ox+Oy);
}
inline double dis(
    const Point &A,
    const Point &B
){
    double x1=A.x,y1=A.y;
    double x2=B.x,y2=B.y;
    return dis(x1,y1,x2,y2);
}
inline bool cmp(
    Point A,
    Point B
){
    Point _1=A-a[1];
    Point _2=B-a[1];
    double d=_1*_2;
    if(d>0) return true;
    double d1=dis(a[0],A);
    double d2=dis(a[0],B);
    if(d==0&&d1<d2) 
        return true;
    return false;
}
int m,n,tail;
double A,B,R;
double x,y,d;
inline void Revolve(
    double &NowX,
    double &NowY,
    const double &CentreX,
    const double &CentreY,
    const double &Angle
){
    double r=dis(NowX,NowY,CentreX,CentreY);
    double DeltaX=NowX-CentreX;
    double DeltaY=NowY-CentreY;
    double NowAngle=atan2(DeltaY,DeltaX);
    NowAngle+=Angle;
    double NowSin=sin(NowAngle);
    double NowCos=cos(NowAngle);
    NowX=CentreX+(r*NowCos);
    NowY=CentreY+(r*NowSin);
}
inline void Turn(
    const double &x,
    const double &y,
    const double &d
){
    double x1,x2,x3,x4;
    double y1,y2,y3,y4;
    x1=x+B*0.5-R,y1=y+A*0.5-R;
    x2=x-B*0.5+R,y2=y+A*0.5-R;
    x3=x-B*0.5+R,y3=y-A*0.5+R;
    x4=x+B*0.5-R,y4=y-A*0.5+R;
    Revolve(x1,y1,x,y,d);
    Revolve(x2,y2,x,y,d);
    Revolve(x3,y3,x,y,d);
    Revolve(x4,y4,x,y,d);
    a[++n]={x1,y1},a[++n]={x2,y2};
    a[++n]={x3,y3},a[++n]={x4,y4};
}
inline void init(){
    scanf("%d",&m);
    scanf("%lf",&A);
    scanf("%lf",&B);
    scanf("%lf",&R);
    for(
        int i=1;
        i<=m;++i
    ){
        scanf("%lf",&x);
        scanf("%lf",&y);
        scanf("%lf",&d);
        Turn(x,y,d);
    }
    for(
        int i=2;
        i<=n;++i
    ){
        if(a[i].y>a[1].y)
            continue;
        if(a[i].y==a[1].y
        &&a[i].x>=a[1].x)
            continue;
        std::swap(a[1],a[i]);
    }std::sort(a+2,a+1+n,cmp);
    n=std::unique(a+1,a+n+1)-a-1;
    tail=1;sta[tail]=a[1];
}
double C,ans;
inline void Andrew(){
    for(
        int i=2;
        i<=n;++i
    ){
        while(tail>1){
            Point d1=sta[tail]-sta[tail-1];
            Point d2=a[i]-sta[tail];
            if((d1*d2)>=0) break;--tail;
        }sta[++tail]=a[i];
    }sta[++tail]=a[1];
    for(int i=1;i<tail;++i)
        C+=dis(sta[i],sta[i+1]);
}
const double Pi=3.1415926535898;
signed main(){
    init();Andrew();
    ans=C+(2.0*R*Pi);
    printf("%.2lf",ans);
}