P6025 线段树 题解

解题思路

暴力做法

从 $l$ 到 $r$ 枚举每一个数，然后建线段树，记录最大下标，然后计算答案。

代码略。

时间 $O(n^2)$，期望得分：$10$ 分。

优化暴力

我们考虑每次枚举不遍历整棵线段树。显然，贪心的，最深的最右边的节点编号最大。那么我们可以发现，如果两颗子树大小相同，那么最大节点一定是在右子树，或者右子树的深度和左子树一样大，那么最大节点也在右子树，否则在左子树。

代码略。

时间 $O(n\log n)$，期望得分：$40$ 分。

可以通过本题的做法

我们用暴力算法多测几组数据，观察可以发现，当当前序列大小 $n=2^k,k\in \mathbb{Z}$ 或 $n=2^k+1,k\in \mathbb{Z}$ 的时候，当前的线段树的最大节点大小为 $2\times n-1$。

同样，我们可以发现以下规律：

• 从第 $2^k+1,k\in \mathbb{Z}$ 个数开始，向后分别每隔 $2^0,2^1,2^2\dots$ 个数最大节点的值改变一次，直到到达第 $2^{k+1}-1$ 个数；
• 从第 $2^k+1$ 个数开始，向后分别每隔上文所说个数，最大节点的值分别增加 $2^k,2^{k-1},2^{k-2}\dots$。

那么，我们可以通过简单容斥，分别计算出 $f(1,l-1)$ 和 $f(1,r)$ 的值，然后通过 $f(1,l-1)\oplus f(1,r)$ 得到 $f(l,r)$ 的值。同样，我们不难发现，在 $2^k$ 和 $2^k+1$ 个数之后，由于均有偶数个数，异或值都为 $0$，对答案不会造成影响。因此，我们只需计算每对 $f(2^k)$ 和 $f(2^k-1)$ 的值，然后判断第 $n$ 个数所在块从左端到 $n$ 是否有奇数个数，如果有，那么再异或上 $f(n)$ 的值，这里可以通过上方规律 $O(\log n)$ 做出。

综上，时间复杂度 $O(\log n)$，空间复杂度 $O(1)$，也是成功拿下了最优解。

注意事项

1. 开 long long；
2. 开 long long；
3. 开 long long；
4. 从 $2^k+1$ 开始往后跳的时候。第一步应该跳 $2$ 来跳到下一段的末尾，如果跳 $1$ 的话就会跳到每一段开头。

AC 代码

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define int long long
int check(int x){
    return (x&(x-1ll))==0;
}int GetAns(int n){
    int res=0ll,now=1ll;
    while(now<=n){
        int val=(now<<1ll);
        --val;res^=val;
        if(now+1>n) break;
        if(check(now+1ll)){
            now<<=1ll;
            continue;
        } now<<=1ll;
        res^=(val+2ll);
    }
    if(check(n)) return res;
    if(check(n-1ll)) return res;
    now>>=1ll;++now;
    int val=(now<<1ll)-1;
    int add=now-1ll,cnt=2ll;
    while(true){
        val+=add;
        if(now+cnt>=n){
            int dis=n-now;
            if(dis&1) res^=val;
            return res;
        }now+=cnt;
        add>>=1ll;
        cnt<<=1ll;
    }
}
int l,r;
signed main(){
    scanf("%lld",&l);
    scanf("%lld",&r);
    int front=GetAns(l-1ll);
    int behind=GetAns(r);
    int ans=(front^behind);
    printf("%lld",ans);
}