二叉搜索树（简介）

定义和性质

二叉查找树或是空树，或是满足如下三个性质的二叉树：

1.若其左子树非空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值 若其右子树非空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值

2.其左右子树都是一棵二叉查找树

3.二叉查找树的特性：左子树<根<右子树，即二叉查找树的中序遍历是一个递增序列

二叉查找树的查询

算法步骤：

1. 若二叉查找树为空，则查找失败，返回空指针
2. 若二叉查找树非空，则将待查找关键字key与根节点的关键字T−>data进行比较：
3. 如果x=T->data，则查找成功，返回查询到的当前节点T
4. 如果x<T−>data，则递归查找左子树
5. 如果x>T−>data，则递归查找右子树

时间复杂度：最好情况是O(logn)，最坏情况是O(n) 空间复杂度：O(n)

查找最小值和最大值

由二叉搜索树的性质可得，二叉搜索树上的最小值为二叉搜索树左链的顶点，最大值为二叉搜索树右链的顶点。时间复杂度为O(h) 。

inline int findmin(int o){//查找最小值 
	if(!lc[o]) return o;//找到第一个没有左子树的节点，由二叉查找树的性质知，此时该节点值为最小值，返回节点编号 
	return findmin(lc[o]);//一直向左子树找 
}

inline int findmax(int o){//查找最大值 
	if(!rc[o]) return o;//找到第一个没有右子树的节点，由二叉查找树的性质知，此时节点值大于左子树所有节点值，该节点值即为最大值，返回节点编号 
	return findmax(rc[o]);//一直向右子树找 
}

插入一个元素

定义 insert(o,v) 为在以 o 为根节点的二叉搜索树中插入一个值为 v 的新节点。 分类讨论如下：

• 若 o 为空，直接返回一个值为 v 的新节点。
• 若 o 的权值等于v ，该节点的附加域该值出现的次数自增 。
• 若 o 的权值大于v ，在 o 的左子树中插入权值为 v 的节点。
• 若 o 的权值小于 v，在 o 的右子树中插入权值为 v 的节点。

inline void insert(int &o,int v){//在以o为根节点的二叉搜索树中插入一个值为v的节点 
	if(!o){//如果o没有在树上 
		val[o=++num]=v;//加入一个值为v，编号为++n的节点 
		cnt[o]=siz[o]=1;//初始化节点o的出现次数和子树大小 
		lc[o]=rc[o]=0;//将左右节点初始值赋为0 
		return;
	}
	siz[o]++;//o还是在树上，更新最终得到的o点的所有祖先节点的子树大小 
	if(val[o]>v) insert(lc[o],v);//如果节点o的值>v，说明v在此时的节点的左子树上，向左子树插入v 
	if(val[o]<v) insert(rc[o],v);//如果节点o的值<v，说明v在此时的节点的右子树上，向右子树插入v 
}

删除一个元素

定义 del(o,v) 为在以 o 为根节点的二叉搜索树中删除一个值为 v 的节点。 先在二叉搜索树中找到权值为 v 的节点，分类讨论如下：

• 若该节点的附加 cnt 大于 1，只需要减少 cnt。
• 若该节点的附加 cnt 为 1：
• 若 o 为叶子节点，直接删除该节点即可。
• 若 o 为链节点，即只有一个儿子的节点，返回这个儿子。
• 若 o 有两个非空子节点，一般是用它左子树的最大值或右子树的最小值代替它，然后将它删除。

时间复杂度 O(h)。

inline int deletemin(int &o){//查询最小值 
	if(!lc[o]){//如果左子树为空 
		int u=o;
		o=rc[o];//找到最小值，更新节点，原本o点的值更新为最小值的右节点 
		return u;//返回最小值 
	}else{//如果左子树不为空 
		int u=deletemin(lc[o]);//继续查找 
		siz[o]-=cnt[u];//沿途的节点的子树大小-=u的个数 
		return u;
	}
}

inline void del(int &o,int v){//在以o为根节点的二叉查找树中删除一个值为v的节点 
	siz[o]--;//o节点的子树大小减一 
	if(val[o]==v){//如果o的值和v相同（找到了） 
		if(cnt[o]>1){//如果o点不止一个 
			cnt[o]--;//直接把cnt[o]-1 
			return;
		}
		if(lc[o]&&rc[o]) o=deletemin(rc[o]);//如果o节点左右子树均不为空，用左子树的最大值或右子树的最小值来替换o（此处用的是右子树的最小值） 
		else o=lc[o]+rc[o];//如果左子树为空或右子树为空或左右子树均为空（此处代码浓缩）：当左子树为空时，lc[o]为0，o点被右节点替换；当右子树为空时，rc[o]为0，o被左节点替换；当左右子树均为空时lc[o]=rc[o]=0，o点变为0； 
		return;
	}
	if(val[o]>v) del(lc[o],v);//如果节点o的值>v，说明v在此时的节点的左子树上，向左子树搜索v 
	if(val[o]<v) del(rc[o],v);//如果节点o的值<v，说明v在此时的节点的右子树上，向右子树搜索v
}

求元素的排名

• 排名定义为将数组元素排序后第一个相同元素之前的数的个数加一。
• 查找一个元素的排名，首先从根节点跳到这个元素，若向右跳，答案加上左儿子节点个数加当前节点重复的数个数，最后答案加上终点的左儿子子树大小加一。 时间复杂度 O(h)。

inline int queryrnk(int o,int v){//求一个值为v的元素在以o为根节点的二叉搜索树中的排名 
	if(val[o]==v) return siz[lc[o]]+1;//如果val[o]==v，找到v了，返回该节点左节点的排名+1 
	if(val[o]>v) return queryrnk(lc[o],v);//如果节点o的值>v，说明v在此时的节点的左子树上，向左子树搜索v 
	if(val[o]<v) return queryrnk(rc[o],v)+siz[lc[o]]+cnt[o];//如果节点o的值<v，说明v在此时的节点的右子树上，向右子树搜索v，答案+=该节点左节点的排名+该节点重复的个数 
}

查找排名为k的元素

• 在一棵子树中，根节点的排名取决于其左子树的大小。
• 若其左子树的大小大于等于 k，则该元素在左子树中；
• 若其左子树的大小在区间[k-cnt,k-1] ( cnt为当前结点的值的出现次数）中，则该元素为子树的根节点；
• 若其左子树的大小小于 k-cnt，则该元素在右子树中。
• 时间复杂度 O(h)。

inline int querykth(int o,int k){//查找在以o为根节点的二叉搜索树中排名为k的元素的值 
	if(siz[lc[o]]>=k) return querykth(lc[o],k);//如果o的左节点的子树大小>=k，k在o的左子树中 
	if(siz[lc[o]]<k-cnt[o]) return querykth(rc[o],k-siz[lc[o]]-cnt[o]);//如果o的左节点的子树的大小+o节点重复的个数（就是o的左子树的大小+cnt[o]-1）<k，说明该元素的排名>o节点排名，该元素在o右子树上，查询时k-=siz[lc[o]]+cnt[o]，相当于在以rc[o]为根节点的二叉搜索数上重新查询 
	return val[o];//排名为k的节点是一颗树的根节点或叶子节点（此时o在它所在的树中的排名为k），返回val[o]，即o的值（如果要求排名为k的节点的编号） 
}

二叉搜索树模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//二叉搜索树：左子树所有值小于根节点，右子树所有值大于根节点，且左子树和右子树均为根节点 
int lc[100005],rc[100005];//lc为左子树 rc为右子树，lc[i]表示i节点的左节点编号 rc[i] 表示i节点的右节点编号 

inline int findmin(int o){//查找最小值 
	if(!lc[o]) return o;//找到第一个没有左子树的节点，由二叉查找树的性质知，此时该节点值为最小值，返回节点编号 
	return findmin(lc[o]);//一直向左子树找 
}

inline int findmax(int o){//查找最大值 
	if(!rc[o]) return o;//找到第一个没有右子树的节点，由二叉查找树的性质知，此时节点值大于左子树所有节点值，该节点值即为最大值，返回节点编号 
	return findmax(rc[o]);//一直向右子树找 
}

int val[100005],cnt[100005],siz[100005];//val[i]表示节点i的值，cnt[i]表示节点i出现的次数，siz[i]表示节点i的子树的大小 
int num=0,o=1;
inline void insert(int &o,int v){//在以o为根节点的二叉搜索树中插入一个值为v的节点 
	if(!o){//如果o没有在树上 
		val[o=++num]=v;//加入一个值为v，编号为++n的节点 
		cnt[o]=siz[o]=1;//初始化节点o的出现次数和子树大小 
		lc[o]=rc[o]=0;//将左右节点初始值赋为0 
		return;
	}
	siz[o]++;//o还是在树上，更新最终得到的o点的所有祖先节点的子树大小 
	if(val[o]>v) insert(lc[o],v);//如果节点o的值>v，说明v在此时的节点的左子树上，向左子树插入v 
	if(val[o]<v) insert(rc[o],v);//如果节点o的值<v，说明v在此时的节点的右子树上，向右子树插入v 
}

inline int deletemin(int &o){//查询最小值 
	if(!lc[o]){//如果左子树为空 
		int u=o;
		o=rc[o];//找到最小值，更新节点，原本o点的值更新为最小值的右节点 
		return u;//返回最小值 
	}else{//如果左子树不为空 
		int u=deletemin(lc[o]);//继续查找 
		siz[o]-=cnt[u];//沿途的节点的子树大小-=u的个数 
		return u;
	}
}

inline void del(int &o,int v){//在以o为根节点的二叉查找树中删除一个值为v的节点 
	siz[o]--;//o节点的子树大小减一 
	if(val[o]==v){//如果o的值和v相同（找到了） 
		if(cnt[o]>1){//如果o点不止一个 
			cnt[o]--;//直接把cnt[o]-1 
			return;
		}
		if(lc[o]&&rc[o]) o=deletemin(rc[o]);//如果o节点左右子树均不为空，用左子树的最大值或右子树的最小值来替换o（此处用的是右子树的最小值） 
		else o=lc[o]+rc[o];//如果左子树为空或右子树为空或左右子树均为空（此处代码浓缩）：当左子树为空时，lc[o]为0，o点被右节点替换；当右子树为空时，rc[o]为0，o被左节点替换；当左右子树均为空时lc[o]=rc[o]=0，o点变为0； 
		return;
	}
	if(val[o]>v) del(lc[o],v);//如果节点o的值>v，说明v在此时的节点的左子树上，向左子树搜索v 
	if(val[o]<v) del(rc[o],v);//如果节点o的值<v，说明v在此时的节点的右子树上，向右子树搜索v
}

inline int queryrnk(int o,int v){//求一个值为v的元素在以o为根节点的二叉搜索树中的排名 
	if(val[o]==v) return siz[lc[o]]+1;//如果val[o]==v，找到v了，返回该节点左节点的排名+1 
	if(val[o]>v) return queryrnk(lc[o],v);//如果节点o的值>v，说明v在此时的节点的左子树上，向左子树搜索v 
	if(val[o]<v) return queryrnk(rc[o],v)+siz[lc[o]]+cnt[o];//如果节点o的值<v，说明v在此时的节点的右子树上，向右子树搜索v，答案+=该节点左节点的排名+该节点重复的个数 
}

inline int querykth(int o,int k){//查找在以o为根节点的二叉搜索树中排名为k的元素的值 
	if(siz[lc[o]]>=k) return querykth(lc[o],k);//如果o的左节点的子树大小>=k，k在o的左子树中 
	if(siz[lc[o]]<k-cnt[o]) return querykth(rc[o],k-siz[lc[o]]-cnt[o]);//如果o的左节点的子树的大小+o节点重复的个数（就是o的左子树的大小+cnt[o]-1）<k，说明该元素的排名>o节点排名，该元素在o右子树上，查询时k-=siz[lc[o]]+cnt[o]，相当于在以rc[o]为根节点的二叉搜索数上重新查询 
	return val[o];//排名为k的节点是一颗树的根节点或叶子节点（此时o在它所在的树中的排名为k），返回val[o]，即o的值（如果要求排名为k的节点的编号） 
} 

int n,m; 
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;
		cin>>x;
		insert(o,x);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int q;
		cin>>q;
		if(q==1){
			cout<<findmin(1)<<endl; 
		}
		else if(q==2) cout<<findmax(1)<<endl;
		else if(q==3){
			int v;
			cin>>v;
			del(o,v);
		}else if(q==4){
			int v;
			cin>>v;
			cout<<queryrnk(1,v);
		}else if(q==5){
			int v;
			cin>>v;
			cout<<querykth(1,v);
		}
	}
	return 0;
}

练习推荐：

https://www.luogu.com.cn/problem/P1864

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