杂题题解 1

有解条件

先来证明当且仅当 $n=4\times k,k\in \mathbb{Z}$ 的时候有解。

【#1】 序列中有没有偶数

易得，$n$ 为奇数，奇数个数相加和一定不为 $0$，该情况一定不成立，证明如下:

由序列中没有偶数知，令 $a_1=2\times k+1k\in \mathbb{Z},a_2=2\times kk\in \mathbb{Z},\dots ,a_n=2\times kk\in \mathbb{Z}$，由 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i=0}$，不妨设 $-a_1={\displaystyle \sum _{i=2}^n{a}_i}$，则有 $-2\times k+1=2\times (k_2+k_3+\dots )+(n-1)$，又由 $-2\times k$ 为偶数，$2\times (k_2+k_3+\dots )$ 为偶数可得，$(n-1)$ 和 $1$ 同为奇数，则 $n$ 为偶数，与假设矛盾，故假设不成立。

【#2】 序列中只有 $1$ 个偶数

由 $n={\displaystyle \prod _{i=1}^n{a}_i}$，若干个奇数相乘为奇数，奇数乘偶数为偶数可得 $n$ 为偶数，该情况不成立，证明如下：

不妨令，$a_1=2\times kk\in \mathbb{Z},a_2=2\times kk\in \mathbb{Z},\dots ,a_n=2\times kk\in \mathbb{Z}$，由 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i=0}$，不妨设 $-a_1={\displaystyle \sum _{i=2}^n{a}_i}$，则有 $-2\times k=2\times (k_2+k_3+\dots )+(n-1)$，显然，$-2\times k$ 和 $2\times (k_2+k_3+\dots )$ 均为偶数，则 $n-1$ 和 $0$ 同为 $\mathrm{偶}\mathrm{数}$，由此可得 $n$ 为奇数，与 $n$ 为偶数矛盾，故情况不成立。

【#3】序列中有超过一个偶数，且偶数个数为奇数

由 $n={\displaystyle \prod _{i=1}^n{a}_i}$，若干个奇数相乘为奇数，奇数乘偶数为偶数可得 $n$ 为偶数，该情况成立，证明如下：

不妨令 $a_1,\dots ,a_r$ 满足 $a_i=2\times k,k\in \mathbb{Z}$，$a_{r+1},\dots ,a_n$ 满足 $a_i=2\times k+1,k\in \mathbb{Z}$，不妨设 $-{\displaystyle \sum _{i=1}^r{a}_i=\sum _{i=r+1}^n{a}_i}$，则有 $-2\times (k_1+\cdots +k_r)=2\times (k_{r+1},\dots ,k_n)+(n-r)$，$n-r$ 和 $0$ 同偶，当 $r=2\times k+1,k\in \mathbb{Z}$，$n$ 为奇数，不成立。

【#4】序列中有超过一个偶数且偶数个数为偶数

由 $n={\displaystyle \prod _{i=1}^n{a}_i}$，若干个奇数相乘为奇数，奇数乘偶数为偶数可得 $n$ 为偶数，该情况成立，证明如下：

不妨令 $a_1,\dots ,a_r$ 满足 $a_i=2\times k,k\in \mathbb{Z}$，$a_{r+1},\dots ,a_n$ 满足 $a_i=2\times k+1,k\in \mathbb{Z}$，不妨设 $-{\displaystyle \sum _{i=1}^r{a}_i=\sum _{i=r+1}^n{a}_i}$，则有 $-2\times (k_1+\cdots +k_r)=2\times (k_{r+1},\dots ,k_n)+(n-r)$，$n-r$ 和 $0$ 同偶，当 $r=2\times k,k\in \mathbb{Z}$，$n$ 为偶数，不成立。

综上所述，当构造序列中有偶数个偶数，且个数大于 $1$ 时满足题意要求，此时 $nmod4=0$，令 $n=4\times k$，其中 $k$ 可为奇数可为偶数。

构造方法

令 $n=4\times k$，分两种情况构造：

• $k$ 为奇数：显然序列中存在两个元素 $-2$ 和 $2\times k$，考虑剩余的元素。此时还有 $4\times k-2$ 个元素，由相加为 $0$ 可知，有 $k$ 个 $-1$ 和 $3\times k-2$ 个 $1$，同时乘积满足条件。
• $k$ 为偶数：显然序列中存在 $2$ 和 $2\times k$，剩余元素为 $k-2$ 个 $-1$ 和 $3\times k$ 个 $1$。

AC 代码

#include<stdio.h>
int n,m;
inline void work(){
    scanf("%d",&n);
    if(n%4){
        putchar('w');
        putchar('3');
        putchar('3');
        putchar('z');
        putchar('A');
        putchar('K');
        putchar('I');
        putchar('O');
        putchar('I');
        putchar('\n');
        return;
    }m=n>>2;
    if(m&1){putchar('2');
        putchar(' ');printf("-%d ",m<<1);
        for(register int i=1;i<=3*m-2;++i)
            putchar('1'),putchar(' ');
        for(register int i=1;i<=m;++i)
            putchar('-'),putchar('1'),putchar(' ');
    }else{putchar('-'),putchar('2');
        putchar(' ');printf("-%d ",m<<1);
        for(register int i=1;i<=m+(m<<1);++i)
            putchar('1'),putchar(' ');
        for(register int i=1;i<=m-2;++i)
            putchar('-'),putchar('1'),putchar(' ');
    }putchar('\n');
}signed main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--) work();
}