异或运算(XOR)的可交换性证明

异或运算(XOR)的可交换性是指：
若 \(a \oplus b = c\) ，那么有 \(a \oplus c = b\) 且 \(b \oplus c = a\)

证明：
不失一般性，我们只需证明第一个等式 \(a \oplus c = b\)。

首先：按位异或运算有以下几个重要性质：

1. 交换律： \(a \oplus b = b \oplus a\)
2. 结合律： \(a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c\)
3. 自反性： \(a \oplus a = 0\)
4. 单位元： \(a \oplus 0 = a\)

根据自反性和交换律，我们可以验证 \(a \oplus c = b\) 是否成立：

给定 \(a \oplus b = c\)，我们将这个等式的两边都与 \(a\) 进行异或：
$(a \oplus b) \oplus a = c \oplus a $

利用结合律和自反性，我们得到：
\(\Rightarrow a \oplus a \oplus b = c \oplus a\)
\(\Rightarrow 0 \oplus b = c \oplus a\)
\(\Rightarrow b = c \oplus a\)

这正是我们要证明的 \(a \oplus c = b\)。

因此，给定 \(a \oplus b = c\)，可推导出 \(a \oplus c = b\) 成立。同理可知 \(b \oplus c = a\) 成立。