异或运算(XOR)的可交换性证明
异或运算(XOR)的可交换性是指:
若 \(a \oplus b = c\) ,那么有 \(a \oplus c = b\) 且 \(b \oplus c = a\)
证明:
不失一般性,我们只需证明第一个等式 \(a \oplus c = b\)。
首先:按位异或运算有以下几个重要性质:
- 交换律: \(a \oplus b = b \oplus a\)
- 结合律: \(a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c\)
- 自反性: \(a \oplus a = 0\)
- 单位元: \(a \oplus 0 = a\)
根据自反性和交换律,我们可以验证 \(a \oplus c = b\) 是否成立:
给定 \(a \oplus b = c\),我们将这个等式的两边都与 \(a\) 进行异或:
$(a \oplus b) \oplus a = c \oplus a $
利用结合律和自反性,我们得到:
\(\Rightarrow a \oplus a \oplus b = c \oplus a\)
\(\Rightarrow 0 \oplus b = c \oplus a\)
\(\Rightarrow b = c \oplus a\)
这正是我们要证明的 \(a \oplus c = b\)。
因此,给定 \(a \oplus b = c\),可推导出 \(a \oplus c = b\) 成立。同理可知 \(b \oplus c = a\) 成立。
本文作者:Unalome
本文链接:https://www.cnblogs.com/Unalome-3301/p/18316222
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