对等式 gcd(x,y)=x⊕y 的一点思考

前日打算法赛时遇到了一个等式 \(\gcd(x, y) = x \oplus y\)，要求给定 \(x\) 在最短时间内求得满足条件的一个 \(y\) 。

赛中使用了暴力找规律大法过了，赛后决定认真严谨证明一下满足条件的 \(y\) 的相关性质，于是有了这篇文章（

Part 1: \(x\) 是奇数

先介绍【异或配对性定理】：若 \(a\) 为任意非负偶数，则必有 \(a⊕1=(a+1)\) 。

利用这个定理，再由 异或的可交换性 和 大于2且相邻的两个数必互质，故当 \(x\) 为奇数时，\(y=x-1\) 即满足等式条件。

Part 2: \(x\) 是偶数且为 2 的整数幂

设 \(x = 2^k\)，其中 \(k\) 是非负整数。由于 \(x\) 是 2 的整数幂，二进制表示中只有一位是 1，其余位均为 0 。

为了找出满足 \(\gcd(x, y) = x \oplus y\) 的正整数 \(y\)，我们需要检查 \(\gcd(x, y)\) 和 \(x \oplus y\) 的二进制表示。

1. 二进制性质:

   • \(x\) 的二进制表示只有一位是 1，其余全是 0。
   • \(y\) 是一个正整数，具有任意的二进制表示。

2. 按位异或的性质:

   • \(x \oplus y\) 表示 \(x\) 和 \(y\) 之间的按位异或操作，对于相同位是 0，不同位是 1。
   • 由于 \(x\) 只有一位是 1，所以 \(x \oplus y\) 会在 \(x\) 的那个 1 位与 \(y\) 的相应位不同时为 1，否则为 0。

3. \(\gcd\) 的性质:

   • \(\gcd(x, y)\) 是 \(x\) 和 \(y\) 的最大公约数。
   • 由于 \(x\) 是 2 的整数幂，因此 \(x\) 的所有因子也都是 2 的整数幂。

现在假设存在一个正整数 \(y\)，使得 \(\gcd(x, y) = x \oplus y\)。由于 \(x\) 所有因子都必须是 2 的幂。假设 \(y = 2^m + 2^n + \cdots\)，其中 \(0\leq m, n, ... \leq k\) 均为整数。

• \(\gcd(x, y)\) 必须是 2 的某个幂，因为 \(x\) 和 \(y\) 的公因子只能是 2 的幂。
• \(x \oplus y\) 如果有多于一位 1，则不是 2 的幂，不能是 \(\gcd(x, y)\)。

因此 \(\gcd(x, y) = x \oplus y\) 不能成立，因为 \(x \oplus y\) 不可能保持 2 的幂的形式，而 \(\gcd(x, y)\) 必须是 2 的幂。

Part 3: \(x\) 是偶数但不是 2 的整数幂

设 \(x = 2^k \cdot m\)，其中 \(m\) 是奇数且 \(k > 0\) 。

1. 寻找 \(x\) 最多能被 2 的多少次方整除:

   • \(x\) 可以被 \(2^k\) 整除，因为 \(x = 2^k \cdot m\)
   • \(y = x - 2^k = 2^k \cdot m - 2^k = 2^k(m - 1)\)

2. 验证 \(\gcd(x, y)\):

   • \(\gcd(x, y) = \gcd(2^k \cdot m, 2^k(m - 1))\)
   • \(\gcd(2^k \cdot m, 2^k \cdot (m - 1)) = 2^k \cdot \gcd(m, m - 1)\)
   • 由于 \(m\) 和 \((m-1)\) 是相邻的整数，所以有 \(\gcd(m, m - 1) = 1\)
   • 因此 \(\gcd(x, y) = 2^k\)

3. 验证 \(x \oplus y\):

   • \(x \oplus y = 2^k \cdot m \oplus 2^k (m - 1)\)
   • 由于 \(x\) 和 \(y\) 只有 \(2^k\) 的系数不同，其余相同。（即左移位数相同）
   • 因此 \(x \oplus y = 2^k\cdot(m \oplus (m-1))=2^k\)

Part 4 : 综上所述

对于满足等式 \(gcd(x,y)=x⊕y\) 的 \(y\)：

• 当 \(x\) 是奇数时，取 \(y=x-1\) 即满足条件
• 当 \(x\) 是偶数且为 2 的整数幂，\(y\) 不存在
• 当 \(x\) 是偶数但不是 2 的整数幂，选择 \(y = x - 2^k\) 即满足条件