算法大全（3） 二叉树
声明，本文所有11道算法题目，覆盖了基本上所有常见的二叉树问题，全都用C#实现，并测试通过，代码下载：BinNode.zip
目录：
1.二叉树三种周游（traversal）方式：
2.怎样从顶部开始逐层打印二叉树结点数据
3.如何判断一棵二叉树是否是平衡二叉树
4.设计一个算法，找出二叉树上任意两个节点的最近共同父结点，复杂度如果是O(n2)则不得分。
5.如何不用递归实现二叉树的前序/后序/中序遍历？
6.在二叉树中找出和为某一值的所有路径
7.怎样编写一个程序，把一个有序整数数组放到二叉树中？
8.判断整数序列是不是二叉搜索树的后序遍历结果
9.求二叉树的镜像
10.一棵排序二叉树（即二叉搜索树BST），令 f=(最大值+最小值)/2，设计一个算法，找出距离f值最近、大于f值的结点。复杂度如果是O(n2)则不得分。
11.把二叉搜索树转变成排序的双向链表
首先写一个二叉树的C#实现，这是我们的基石：
public class BinNode { public int Element; public BinNode Left; public BinNode Right; public BinNode(int element, BinNode left, BinNode right) { this.Element = element; this.Left = left; this.Right = right; } public bool IsLeaf() { return this.Left == null && this.Right == null; } }
1.二叉树三种周游（traversal）方式：
1）前序周游（preorder）：节点 –> 子节点Left（包括其子树） –> 子节点Right（包括其子树）
static void PreOrder(BinNode root) { if (root == null) return; //visit current node Console.WriteLine(root.Element); PreOrder(root.Left); PreOrder(root.Right); }
2）后序周游（postorder）：子节点Left（包括其子树） –> 子节点Right（包括其子树） –> 节点
static void PostOrder(BinNode root) { if (root == null) return; PostOrder(root.Left); PostOrder(root.Right); //visit current node Console.WriteLine(root.Element); }
3）中序周游（inorder）：子节点Left（包括其子树） –> 节点 –> 子节点Right（包括其子树）
static void InOrder(BinNode root) { if (root == null) return; InOrder(root.Left); //visit current node Console.WriteLine(root.Element); InOrder(root.Right); }
我们发现，三种周游的code实现，仅仅是访问当前节点的这条语句所在位置不同而已。
2.怎样从顶部开始逐层打印二叉树结点数据
有2种算法：
算法1：基于Queue来实现，也就是广度优先搜索（BFS）的思想
static void PrintTree1(BinNode root) { if (root == null) return; BinNode tmp = null; Queue queue = new Queue(); queue.Enqueue(root); while (queue.Count > 0) { tmp = (BinNode)queue.Dequeue(); Console.WriteLine(tmp.Element); if (tmp.Left != null) queue.Enqueue(tmp.Left); if (tmp.Right != null) queue.Enqueue(tmp.Right); } }
话说，BFS和DFS思想本来是用于图的，但我们不能被传统的思维方式所束缚。
算法2：基于单链表实现
如果没有Queue给我们用，我们只好使用单链表，把每个节点存在单链表的Data中，实现如下：
public class Link { public Link Next; public BinNode Data; public Link(Link next, BinNode data) { this.Next = next; this.Data = data; } }
看过了Queue的实现，我们发现永远是先出队1个（队头），然后入队2个（把出队的Left和Right放到队尾）。
对于单链表而言，我们可以先模拟入队——把first的Data所对应的Left和Right，先后插到second的后面，即 second.Next和second.Next.Next位置，同时second向前走0、1或2次，再次到达链表末尾，这取决于Left和Right 是否为空；然后我们模拟出队——first前进1步。
当first指针走不下去了，那么任务也就结束了。
static void PrintTree2(BinNode root) { if (root == null) return; Link head = new Link(null, root); Link first = head; Link second = head; while (first != null) { if (first.Data.Left != null) { second.Next = new Link(null, first.Data.Left); second = second.Next; } if (first.Data.Right != null) { second.Next = new Link(null, first.Data.Right); second = second.Next; } Console.WriteLine(first.Data.Element); first = first.Next; } }
3.如何判断一棵二叉树是否是平衡二叉树
平衡二叉树的定义，如果任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那这棵树就是平衡二叉树。
算法思路：先编写一个计算二叉树深度的函数GetDepth，利用递归实现；然后再递归判断每个节点的左右子树的深度是否相差1
static int GetDepth(BinNode root) { if (root == null) return 0; int leftLength = GetDepth(root.Left); int rightLength = GetDepth(root.Right); return (leftLength > rightLength ? leftLength : rightLength) + 1; }
注意这里的+1，对应于root不为空（算作当前1个深度）
static bool IsBalanceTree(BinNode root) { if (root == null) return true; int leftLength = GetDepth(root.Left); int rightLength = GetDepth(root.Right); int distance = leftLength > rightLength ? leftLength - rightLength : rightLength - leftLength; if (distance > 1) return false; else return IsBalanceTree(root.Left) && IsBalanceTree(root.Right); }
上述程序的逻辑是，只要当前节点root的Left和Right深度差不超过1，就递归判断Left和Right是否也符合条件，直到为Left或Right为null，这意味着它们的深度为0，能走到这一步，前面必然都符合条件，所以整个二叉树都符合条件。
4.设计一个算法，找出二叉树上任意两个节点的最近共同父结点，复杂度如果是O(n2)则不得分。
本题网上有很多算法，都不怎么样。这里提出包氏的两个算法：
算法1：做一个容器，我们在遍历二叉树寻找节点的同时，把从根到节点的路径扔进去（两个节点就是两个容器）。由于根节点最后一个被扔进去，但我们接下来又需要第一个就能访问到它——后进先出，所以这个容器是一个栈。时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)。
static bool GetPositionByNode(BinNode root, BinNode node, ref Stack stack) { if (root == null) return false; if (root == node) { stack.Push(root); return true; } if (GetPositionByNode(root.Left, node, ref stack) || GetPositionByNode(root.Right, node, ref stack)) { stack.Push(root); return true; } return false; }
然后我们要同时弹出这两个容器的元素，直到它们不相等，那么之前那个相等的元素就是我们要求的父亲节点。
static BinNode FindParentNode(BinNode root, BinNode node1, BinNode node2) { Stack stack1 = new Stack(); GetPositionByNode(root, node1, ref stack1); Stack stack2 = new Stack(); GetPositionByNode(root, node2, ref stack2); BinNode tempNode = null; while (stack1.Peek() == stack2.Peek()) { tempNode = (BinNode)stack1.Pop(); stack2.Pop(); } return tempNode; }
算法2：如果要求o(1)的空间复杂度，就是说，只能用一个变量来辅助我们。
我们选择一个64位的整数，然后从1开始，从左到右逐层为二叉树的每个元素赋值，root对应1，root.Left对应2，root.Right对应3，依次类推，而不管实际这个位置上是否有节点，我们发现两个规律：
//// 1
//// 2 3
//// 4 5 6 7
//// 8 9 10
如果要找的是5和9位置上的节点。
我们发现，它们的二进制分别是101和1001，右移1001使之与101位数相同，于是1001变成了100（也就是9的父亲4）。
这时101和100（也就是4和5位于同样的深度），我们从左往右找，101和100具有2位相同，即10，这就是我们要找的4和5的父亲，也就是9和5的最近父亲。
由上面观察，得到算法：
1)将找到的两个节点对应的数字
static bool GetPositionByNode(BinNode root, BinNode node, ref int pos) { if (root == null) return false; if (root == node) return true; int temp = pos; //这么写很别扭，但是能保证只要找到就不再进行下去 pos = temp * 2; if (GetPositionByNode(root.Left, node, ref pos)) { return true; } else { //找不到左边找右边 pos = temp * 2 + 1; return GetPositionByNode(root.Right, node, ref pos); } }
2)它们的二进制表示，从左向右逐一比较，直到一个结束或不再相同，则最大的相同子串，就是我们需要得到的最近父亲所对应的位置K。
static int FindParentPosition(int larger, int smaller) { if (larger == smaller) return larger; int left = GetLen(larger) - GetLen(smaller); while (left > 0) { larger = larger >> 1; left--; } while (larger != smaller) { larger = larger >> 1; smaller = smaller >> 1; } return smaller; } static int GetLen(int num) { int length = 0; while (num != 0) { num = num >> 1; length++; } return length; }
3)第3次递归遍历，寻找K所对应的节点。
函数GetNodeByPosition的思想是，先算出k在第几层power，观察k的二进制表示，比如说12，即1100，从左向右数第一个位1不算，还剩下100，1表示向右走，0表示向左走，于是从root出发，1->3->6->12。
static BinNode GetNodeByPosition(BinNode root, int num) { if (num == 1) return root; int pow = (int)Math.Floor(Math.Log(num, 2)); //1 return 0, 2-3 return 1, 4-7 return 2 //第一个位不算 num -= 1 << pow; while (pow > 0) { if ((num & 1 << (pow - 1)) == 0) root = root.Left; else root = root.Right; pow--; } return root; }
总结上面的3个步骤：
static BinNode FindParentNode(BinNode root, BinNode node1, BinNode node2) { int pos1 = 1; GetPositionByNode(root, node1, ref pos1); int pos2 = 1; GetPositionByNode(root, node2, ref pos2); int parentposition = 0; if (pos1 >= pos2) { parentposition = FindParentPosition(pos1, pos2); } else //pos1<pos2 { parentposition = FindParentPosition(pos2, pos1); } return GetNodeByPosition(root, parentposition); }
5.如何不用递归实现二叉树的前序/后序/中序遍历？
算法思想：三种算法的思想都是让root的Left的Left的Left全都入栈。所以第一个while循环的逻辑，都是相同的。
下面详细分析第2个while循环，这是一个出栈动作，只要栈不为空，就始终要弹出栈顶元素，由于我们之前入栈的都是Left节点，所以每次在出栈的时候，我们都要考虑Right节点是否存在。因为前序/后序/中序遍历顺序的不同，所以在具体的实现上有略为区别。
1)前序遍历
这个是最简单的。
前序遍历是root->root.Left->root.Right的顺序。
因为在第一个while循环中，每次进栈的都可以认为是一个root，所以我们直接打印，然后root.Right和root.Left先后进栈，那么出栈的时候，就能确保先左后右的顺序。
static void PreOrder(BinNode root) { Stack stack = new Stack(); BinNode temp = root; //入栈 while (temp != null) { Console.WriteLine(temp.Element); if (temp.Right != null) stack.Push(temp.Right); temp = temp.Left; } //出栈，当然也有入栈 while (stack.Count > 0) { temp = (BinNode)stack.Pop(); Console.WriteLine(temp.Element); while (temp != null) { if (temp.Right != null) stack.Push(temp.Right); temp = temp.Left; } } }
//后序遍历比较麻烦，需要记录上一个访问的节点，然后在本次循环中判断当前节点的Right或Left是否为上个节点，当前节点的Right为null表示没有右节点。 static void PostOrder(BinNode root) { Stack stack = new Stack(); BinNode temp = root; //入栈 while (temp != null) { if (temp != null) stack.Push(temp); temp = temp.Left; } //出栈，当然也有入栈 while (stack.Count > 0) { BinNode lastvisit = temp; temp = (BinNode)stack.Pop(); if (temp.Right == null || temp.Right == lastvisit) { Console.WriteLine(temp.Element); } else if (temp.Left == lastvisit) { stack.Push(temp); temp = temp.Right; stack.Push(temp); while (temp != null) { if (temp.Left != null) stack.Push(temp.Left); temp = temp.Left; } } } }
//中序遍历，类似于前序遍历 static void InOrder(BinNode root) { Stack stack = new Stack(); BinNode temp = root; //入栈 while (temp != null) { if (temp != null) stack.Push(temp); temp = temp.Left; } //出栈，当然也有入栈 while (stack.Count > 0) { temp = (BinNode)stack.Pop(); Console.WriteLine(temp.Element); if (temp.Right != null) { temp = temp.Right; stack.Push(temp); while (temp != null) { if (temp.Left != null) stack.Push(temp.Left); temp = temp.Left; } } } }
6.在二叉树中找出和为某一值的所有路径
算法思想：这道题目的苦恼在于，如果用递归，只能打出一条路径来，其它符合条件的路径打不出来。
为此，我们需要一个Stack，来保存访问过的节点，即在对该节点的递归前让其进栈，对该节点的递归结束后，再让其出栈——深度优先原则（DFS）。
此外，在递归中，如果发现某节点（及其路径）符合条件，如何从头到尾打印是比较头疼的，因为DFS使用的是stack而不是queue，为此我们需要一个临时栈，来辅助打印。
static void FindBinNode(BinNode root, int sum, Stack stack) { if (root == null) return; stack.Push(root.Element); //Leaf if (root.IsLeaf()) { if (root.Element == sum) { Stack tempStack = new Stack(); while (stack.Count > 0) { tempStack.Push(stack.Pop()); } while (tempStack.Count > 0) { Console.WriteLine(tempStack.Peek()); stack.Push(tempStack.Pop()); } Console.WriteLine(); } } if (root.Left != null) FindBinNode(root.Left, sum - root.Element, stack); if (root.Right != null) FindBinNode(root.Right, sum - root.Element, stack); stack.Pop(); }
7.怎样编写一个程序，把一个有序整数数组放到二叉树中？
算法思想：我们该如何构造这棵二叉树呢？当然是越平衡越好，如下所示：
//// arr[0]
//// arr[1] arr[2]
//// arr[3] arr[4] arr[5]
相应编码如下：
public static void InsertArrayIntoTree(int[] arr, int pos, ref BinNode root) { root = new BinNode(arr[pos], null, null); root.Element = arr[pos]; //if Left value less than arr length if (pos * 2 + 1 > arr.Length - 1) { return; } else { InsertArrayIntoTree(arr, pos * 2 + 1, ref root.Left); } //if Right value less than arr length if (pos * 2 + 2 > arr.Length - 1) { return; } else { root.Right = new BinNode(arr[pos * 2 + 2], null, null); InsertArrayIntoTree(arr, pos * 2 + 2, ref root.Right); } }
8.判断整数序列是不是二叉搜索树的后序遍历结果
比如，给你一个数组： int a[] = [1, 6, 4, 3, 5] ，则F(a) => false
算法思想：在后续遍历得到的序列中，最后一个元素为树的根结点。从头开始扫描这个序列，比根结点小的元素都应该位于序列的左半部分；从第一个大于跟 结点开始到跟结点前面的一个元素为止，所有元素都应该大于跟结点，因为这部分元素对应的是树的右子树。根据这样的划分，把序列划分为左右两部分，我们递归 地确认序列的左、右两部分是不是都是二元查找树。
由于不能使用动态数组，所以我们每次递归都使用同一个数组arr，通过start和length来模拟“部分”数组。
public static bool VerifyArrayOfBST(int[] arr, int start, int length) { if (arr == null || arr.Length == 0 || arr.Length == 1) { return false; } int root = arr[length + start - 1]; int i = start; for (; i < length - 1; i++) { if (arr[i] >= root) break; } int j = i; for (; j < length - 1; j++) { if (arr[j] < root) return false; } bool left = true; if (i > start) { left = VerifyArrayOfBST(arr, start, i - start); } bool right = true; if (j > i) { right = VerifyArrayOfBST(arr, i, j - i + 1); } return left && right; }
9.求二叉树的镜像
算法1：利用上述遍历二叉树的方法（比如说前序遍历），把访问操作修改为交换左右节点的逻辑：
static void PreOrder(ref BinNode root) { if (root == null) return; //visit current node BinNode temp = root.Left; root.Left = root.Right; root.Right = temp; PreOrder(ref root.Left); PreOrder(ref root.Right); }
算法2：使用循环也可以完成相同的功能。
static void PreOrder2(ref BinNode root) { if (root == null) return; Stack stack = new Stack(); stack.Push(root); while (stack.Count > 0) { //visit current node BinNode temp = root.Left; root.Left = root.Right; root.Right = temp; if (root.Left != null) stack.Push(root.Left); if (root.Right != null) stack.Push(root.Right); } }
10.一棵排序二叉树（即二叉搜索树BST），令 f=(最大值+最小值)/2，设计一个算法，找出距离f值最近、大于f值的结点。复杂度如果是O(n2)则不得分。
算法思想：最小最大节点分别在最左下与最右下节点，O(N)
static BinNode Find(BinNode root) { BinNode min = FindMinNode(root); BinNode max = FindMaxNode(root); double find = (double)(min.Element + max.Element) / 2; return FindNode(root, find); }
static BinNode FindMinNode(BinNode root) { BinNode min = root; while (min.Left != null) { min = min.Left; } return min; } static BinNode FindMaxNode(BinNode root) { BinNode max = root; while (max.Right != null) { max = max.Right; } return max; }
递归寻找BST的节点，O(logN)。
static BinNode FindNode(BinNode root, double mid) { //如果小于相等，则从右边找一个最小值 if (root.Element <= mid) { if (root.Right == null) return root; BinNode find = FindNode(root.Right, mid); //不一定找得到 return find.Element < mid ? root : find; } //如果大于，则找到Left else //temp.Element > find { if (root.Left == null) return root; BinNode find = FindNode(root.Left, mid); //不一定找得到 return find.Element < mid ? root : find; } }
11.把二叉搜索树转变成排序的双向链表，如
//// 13
//// 10 15
//// 5 11 17
//// 16 22
转变为Link：5=10=11=13=15=16=17=22
算法思想：这个就是中序遍历啦，因为BST的中序遍历就是一个从小到大的访问顺序。局部修改中序遍历算法，于是有如下代码：
static void ConvertNodeToLink(BinNode root, ref DoubleLink link) { if (root == null) return; BinNode temp = root; if (temp.Left != null) ConvertNodeToLink(temp.Left, ref link); //visit current node link.Next = new DoubleLink(link, null, root); link = link.Next; if (temp.Right != null) ConvertNodeToLink(temp.Right, ref link); }
但是我们发现，这样得到的Link是指向双链表最后一个元素22，而我们想要得到的是表头5，为此，我们不得不额外进行while循环，将指针向前移动到表头：
static DoubleLink ReverseDoubleLink(BinNode root, ref DoubleLink link) { ConvertNodeToLink(root, ref link); DoubleLink temp = link; while (temp.Prev != null) { temp = temp.Prev; } return temp; }
这么写有点蠢，为什么不直接在递归中就把顺序反转呢？于是有算法2：
算法2：观察算法1的递归方法，访问顺序是Left -> Root –> Right，所以我们要把访问顺序修改为Right -> Root –> Left。
此外，算法的节点访问逻辑，是连接当前节点和新节点，同时指针link向前走，即5=10=11=13=15=16=17=22=link
代码如下所示：
link.Next = new DoubleLink(link, null, root); link = link.Next;
那么，即使我们颠倒了访问顺序，新的Link也只是变为：22=17=16=15=13=11=10=5=link。
为此，我们修改上面的节点访问逻辑——将Next和Prev属性交换：
link.Prev = new DoubleLink(null, link, root); link = link.Prev;
这样，新的Link就变成这样的顺序了：link=5=10=11=13=15=16=17=22
算法代码如下所示：
static void ConvertNodeToLink2(BinNode root, ref DoubleLink link) { if (root == null) return; BinNode temp = root; if (temp.Right != null) ConvertNodeToLink2(temp.Right, ref link); //visit current node link.Prev = new DoubleLink(null, link, root); link = link.Prev; if (temp.Left != null) ConvertNodeToLink2(temp.Left, ref link); }
以下算法属于二叉树的基本概念，未列出：
1.Huffman Tree的生成、编码和反编码
2.BST的实现
3.Heap的实现，优先队列
4.非平衡二叉树如何变成平衡二叉树？
http://www.cppblog.com/bellgrade/archive/2009/10/12/98402.html
玩二叉树，基本都要用到递归算法。
唉，对于递归函数，我一直纠结，到底要不要返回值？到底先干正事还是先递归？到底要不要破坏原来的数据结构？到底要不要额外做个 stack/queue/link/array来转存，还是说完全在递归里面实现？到底终结条件要写成什么样子？ ref在递归里面貌似用的很多哦。
