分治算法求最近点对【转】
原文:http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7482232
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1007
先说下题意,很简单,给n个点的坐标,求距离最近的一对点之间距离的一半。第一行是一个数n表示有n个点,接下来n行是n个点的x坐标和y坐标,实数。
这个题目其实就是求最近点对的距离。《算法导论》上有详细讲解,王晓东的书上也有代码。主要思想就是分治。先把n个点按x坐标排序,然后求左边n/2个和右边n/2个的最近距离,最后合并。合并要重点说一下,比较麻烦。
首先,假设点是n个,编号为1到n。我们要分治求,则找一个中间的编号mid,先求出1到mid点的最近距离设为d1,还有mid+1到n的最近距离设为d2。这里的点需要按x坐标的顺序排好,并且假设这些点中,没有2点在同一个位置。(若有,则直接最小距离为0了)。
然后,令d为d1, d2中较小的那个点。如果说最近点对中的两点都在1-mid集合中,或者mid+1到n集合中,则d就是最小距离了。但是还有可能的是最近点对中的两点分属这两个集合,所以我们必须先检测一下这种情况是否会存在,若存在,则把这个最近点对的距离记录下来,去更新d。这样我们就可以得道最小的距离d了。
关键是要去检测最近点对,理论上每个点都要和对面集合的点匹配一次,那效率还是不能满足我们的要求。所以这里要优化。怎么优化呢?考虑一下,假如以我们所选的分割点mid为界,如果某一点的横坐标到点mid的横坐标的绝对值超过d1并且超过d2,那么这个点到mid点的距离必然超过d1和d2中的小者,所以这个点到对方集合的任意点的距离必然不是所有点中最小的。
所以我们先把在mid为界左右一个范围内的点全部筛选出来,放到一个集合里。筛选好以后,当然可以把这些点两两求距离去更新d了,不过这样还是很慢,万一满足条件的点很多呢。这里还得继续优化。首先把这些点按y坐标排序。假设排序好以后有cnt个点,编号为0到cnt-1。那么我们用0号去和1到cnt-1号的点求一下距离,然后1号和2到cnt-1号的点求一下距离。。。如果某两个点y轴距离已经超过了d,这次循环就可以直接break了,开始从下一个点查找了。
- // 分治算法求最近点对
- #include<iostream>
- #include<algorithm>
- #include<cmath>
- using namespace std;
- struct point
- {
- double x , y;
- }p[100005];
- int a[100005]; //保存筛选的坐标点的索引
- int cmpx(const point &a , const point &b)
- {
- return a.x < b.x;
- }
- int cmpy(int &a , int &b) //这里用的是下标索引
- {
- return p[a].y < p[b].y;
- }
- inline double dis(point &a , point &b)
- {
- return sqrt( (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));
- }
- inline double min(double a , double b)
- {
- return a < b ? a : b;
- }
- double closest(int low , int high)
- {
- if(low + 1 == high)
- return dis(p[low] , p[high]);
- if(low + 2 == high)
- return min(dis(p[low] , p[high]) , min( dis(p[low] , p[low+1]) , dis(p[low+1] , p[high]) ));
- int mid = (low + high)>>1;
- double ans = min( closest(low , mid) , closest(mid + 1 , high) ); //分治法进行递归求解
- int i , j , cnt = 0;
- for(i = low ; i <= high ; ++i) //把x坐标在p[mid].x-ans~p[mid].x+ans范围内的点取出来
- {
- if(p[i].x >= p[mid].x - ans && p[i].x <= p[mid].x + ans)
- a[cnt++] = i; //保存的是下标索引
- }
- sort(a , a + cnt , cmpy); //按y坐标进行升序排序
- for(i = 0 ; i < cnt ; ++i)
- {
- for(j = i+1 ; j < cnt ; ++j)
- {
- if(p[a[j]].y - p[a[i]].y >= ans) //注意下标索引
- break;
- ans = min(ans , dis(p[a[i]] , p[a[j]]));
- }
- }
- return ans;
- }
- int main(void)
- {
- int i,n;
- while(scanf("%d",&n) != EOF)
- {
- if(!n)
- break;
- for(i = 0 ; i < n ; ++i)
- scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);
- sort(p , p + n , cmpx);
- printf("%.2lf\n",closest(0 , n - 1)/2);
- }
- return 0;
- }
按照y值进行升序排列后,还可以进一步进行优化的,就是每次选取7个点就OK了,具体原因编程之美上面有介绍的。
- for(i = 0 ; i < cnt ; ++i)
- {
- int k = (i+7) > cnt ? cnt :(i+7); //只要选取出7个点(证明过程没看懂)
- for(j = i+1 ; j < k ; ++j)
- {
- if(p[a[j]].y - p[a[i]].y >= ans) //注意下标索引
- break;
- ans = min(ans , dis(p[a[i]] , p[a[j]]));
- }
- }