红黑树

一、红黑树介绍

　　红黑树，一种二叉查找树，但在每个节点上增加一位存储位表示节点的颜色，可以时RED或BLACK。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点的着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长处两倍，因而使接近平衡的。

　　1)二叉查找树

　　　二叉查找树，也称有序二叉树（ordered binary tree），或已排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
• 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）

因为一棵由n个结点随机构造的二叉查找树的高度为lgn，所以顺理成章，二叉查找树的一般操作的执行时间为O(lgn)。但二叉查找树若退化成了一棵具有n个结点的线性链后，则这些操作最坏情况运行时间为O(n)。

　　2）红黑树概念

红黑树虽然本质上是一棵二叉查找树，但它在二叉查找树的基础上增加了着色和相关的性质使得红黑树相对平衡，从而保证了红黑树的查找、插入、删除的时间复杂度最坏为O(log n)。

但它是如何保证一棵n个结点的红黑树的高度始终保持在logn的呢？这就引出了红黑树的5个性质：

　　1.每个节点要么是红色要么是黑色。　　

　　2.根节点是黑色。

　　3.每个叶子节点都是黑色（叶子节点指树尾端null节点）

　　4.如果一个节点是红色的，那么它的两个儿子是黑的。

　　5.对于任意节点而言它到叶节点尾端的空指针的每条路径都包含相同数目的黑节点。

　　正是红黑树的这5条性质，使一棵n个结点的红黑树始终保持了logn的高度，从而也就解释了上面所说的“红黑树的查找、插入、删除的时间复杂度最坏为O(log n)”这一结论成立的原因。

（注：上述第3、5点性质中所说的NULL结点，包括wikipedia.算法导论上所认为的叶子结点即为树尾端的NIL指针，或者说NULL结点。然百度百科以及网上一些其它博文直接说的叶结点，则易引起误会，因，此叶结点非子结点）

如下图所示，即是一颗红黑树：

此图忽略了叶子和根部的父结点。同时，上文中我们所说的 "叶结点" 或"NULL结点"，如上图所示，它不包含数据而只充当树在此结束的指示，这些节点在绘图中经常被省略。

隐含性质：

　　1.任意一个以黑色节点为根的子树也必定是一颗红黑树（递归定义）

　　2.左（右）子树的高度最多是右（左）子树的两倍，即：若H(left)>H(right),则H(left)<=2*H(right)+1