二维平面的凸包构建

关于凸包的定义，可以参见http://zh.wikipedia.org/zh/%E5%87%B8%E5%8C%85和http://home.pacific.net.hk/~kfzhou/Hulls.html上面的解释。今天主要讲的内容是二维平面的凸包构建方法，也是读computational geometry in c的总结。

首先定义extreme point：平面上凸包的顶点，并且在那个点上的向内的角度小于180(注意不能等于180)。Definition of extreme points: a set of points in the plane are the vertices of the convex hull at which the interior angle is strictly convex, less than 180.

1.如果只要寻找extreme points的话，其实只需要找出nonextreme point，有一个简单的引理：a point is nonextreme if and only if it is in some triangle whose vertices are points of the set and is not itself a corner of that triangle.于是要寻找extreme points，只要按照上述引理做就可。

2.gift wrapping算法：这个算法的核心思想是使用一个hull上的顶点来预测下一个顶点。计算其他顶点到这个顶点的与x轴的夹角，从中重选择夹角角度最小的那个点，这个点就是hull上的下一个点，依次做完 整个set，直到hull闭合。

3.QuickHull算法：这个算法的核心思想是一个点c是距离ab最远的，那么它在hull上。其中a，b是hull上已经存在的两个顶点，ab是它们之间的边。初始值选a，b为输入点集中的最左边和最右边的两个点，计算ab右边距离ab边最远的点c，于是c是hull上的顶点，然后计算ac，cb（注意顺序）右边距离的ac，cb最远的点，依次递归求解。对于ab的左边使用的同样的方法求解。这里面有一个问题：就是如果同时村很多点到ab最远，这时怎么处理？大家好好想想。

4.GRAHAM算法：这个算法首先计算选定一个hull上的点，计算输入点集中的点与它的角度相对于x轴，进行排序，在一个stack1中保存上述的排序结果，角度大的在下面。当pop stack1第一个点时，这个点由上述的gift wrapping算法知，它也是hull上的点，并将他们保存另一个stack2中。接下来继续pop stack1，当pop出来的点和stack2中前面两个点构成的三角形normal是朝上的话，将这个点push到stack2，然后继续pop stack1。否则将stack2中的第一个点pop，然后继续pop stack1。直到stack1为空。关于第一个点的选择，可以选输入点集中的最右下角的那个点，它肯定在hull上。这个算法同样有多点共线的问题，就是计算的出来的角度是一样的点，这时在入stack1的时候将距离原点近的点放在上面即可。

5.incremental algorithm：这个算法的核心思想是通过添加点到存在的hull来实现的。需要初始化一个使用输入点集中三个点组成的hull，然后开始添加其他点。如果要添加的点p在hull内，直接将它删除，如果不在，这时使用需要将它添到存在的hull上。这时使用原来hull的切线来定位哪两个顶点和p连线。对于每个点i，如果p在i-i-1和i-i+1两直线的不同侧，即p在一直线的左侧，在另一直线的右侧。这时将p和i相连。上述的方法使用到没有顶点可以添加为止。一个问题：how to imporve the algorithm speed using the prsorting points, which is sorted by their x coordinate?

6.divide and conquer算法：这个算法是一个递归的算法。算法的步骤就是1，对所有点排序，使用的同样是x coordinate。2，将点集分为两个子集，根据的是他们的排序。3，对子集进行求hull。4，合并子集的hull。主要是其中的合并，将两个hull合并为一个，使用的方法和上面有点相似，同样引入切线，但是这时需要寻找到两条连接hull(A)，hull(B)上点的边，使对于其中一条边，A,B上的点都在左边，在另一条的右边。假设A在左边，B在右边，初始化为A的最右边的点，B的最左边的点。然后通过移动这条直线往上，下，直到A,B上的点都下面的边的左边，A,B上的点都上面的边的右边为止。

 

上述的所有算法可能描述的不是很清楚，具体请看原书，computational geometry in c。

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