887. 鸡蛋掉落
方法1：动态规划
最重要的是变换思想，从知道鸡蛋数K，知道层数N，求最少次数M；转化为知道鸡蛋数K，假设最多只能扔M次，求最大能排除的层数。
创建一个二维列表dp[K][N]来记录最大能排除层数（M<=N，即使一层一层扔，最多也只会扔N次，保证不会溢出）。
dp[0][:]=0 : 0个鸡蛋，无论扔多少次，只能排除0层数；
dp[:][0]=0 : 无论多少鸡蛋，扔0次，只能排除0层数。
某一状态，总共有k个鸡蛋，最多扔m次，要找的那一层为第F层。因为dp记录的是最大能排除的层数，所以我们扔的这一层，是最佳的。也就是，能排除F在楼上的情况：蛋没碎，那么还有k个鸡蛋，可以扔m-1次；能排除F在楼下的情况：蛋碎了，那么还有k-1个鸡蛋，可以扔m-1次；能排除F就在当前楼。
dp[k][m] = dp[k][m-1]+dp[k-1][m-1]+1
知道了上面的转移方程，我们可以用两个循环，外循环是m一次一次增加，内循环是k一个一个增加。当某一循环中，扔K个鸡蛋可以排除超过N层了，那么说明，当前的m次就足够了。
class Solution:
def superEggDrop(self, K: int, N: int) -> int:
dp = [[0] * (K + 1) for _ in range(N + 1)]
for m in range(1, N + 1):
for k in range(1, K + 1):
dp[k][m] = dp[k][m-1] + dp[k - 1][m - 1] + 1
if dp[k][m] >= N:
return m
方法2.递归解法
1.定义状态f(k,n)：有k个鸡蛋和n层，f(k,n)代表找到临界楼层需要的最小移动次数
2.鸡蛋只有碎/不碎两种情况。
3.将鸡蛋扔在x层，若碎，则在[1...x-1]层找(共x-1层)，鸡蛋数-1；
4.若不碎，则在[x+1...n]层找（共n-x层）
5.我们需要找到最坏的一种情况，因此将鸡蛋扔在x层时，找到临界楼层需要的最小移动次数为fx(k,n) = max{fx(k-1,x-1),fx(k,n-x)},x∈[1,n]
6.可知f(k,n)应该为所有情况中的最小值，即f(k,n) = min{f1(k,n),f2(k,n)...fn(k,n)}
class Solution:
def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int:
def parse(k, n):
if n == 1: # 如果只有1层，不管有多少蛋只需试1次
return 1
elif n == 0:
return 0
elif k == 1: # 只有1个鸡蛋，则只能逐层试
return n
elif (k, n) in table:
return table[(k, n)]
f = float('inf') # 定义一个无限大数作为初始条件
for x in range(1, n + 1): # 将鸡蛋扔在第x层，从第1层开始
fx = 1 + max(parse(k - 1, x - 1), parse(k, n - x))
f = min(f, fx)
table[(k, n)] = f
return f
table = {} # 记忆被计算过的情况
return parse(k, n)
时间复杂度：O（kn^2）
优化：
- 观察可知fx(k-1,x-1)随着x增加单调递增，fx(k,n-x)随着x增加单调递减，因此可以用二分查找出最坏的情况
即把找出最小值的代码
f = float('inf') # 定义一个无限大数作为初始条件
for x in range(1, n + 1): # 将鸡蛋扔在第x层，从第1层开始
fx = 1 + max(parse(k - 1, x - 1), parse(k, n - x))
f = min(f, fx)
改为：
while lp <= rp:
mid = lp + (rp-lp) // 2 # 二分法优化
bcase = parse(k-1, mid-1) # 蛋碎的情况
notbcase = parse(k,n-mid) # 不碎的情况
# fx = 1 + max(bcase, notbcase)
if bcase > notbcase:
rp = mid - 1
f = min(f, bcase + 1)
else:
lp = mid + 1
f = min(f,notbcase + 1)
时间复杂度：O（knlogn）
