NOIP2023模拟21联测42

NOIP前最后的博客。

B.万物有灵

发现一定是从最后一层开始选，然后隔一层选。所以 \(n\) 的奇偶性与选所有下标的奇偶性相同。为了避免分类讨论，可以将周期乘以 2。然后发现是一个等比数列求和。因为模数可能不是质数，就直接倍增维护 \(f_i\) 表示 \(x^1+x^2+...x^{2^i}\)，\(g_i\) 表示 \(x^{2^i}\)。然后就可以 $k + log n $ 做了。

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#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
ll n,p,k;
ll a[1000005],b[1000005];
ll qpow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p;
	return ans;
}
ll f[1000005],g[1000005];
ll solve(ll start,ll bs,ll m){
	if(m<0)return 0;
	ll ans=0,res=1;
	f[0]=g[0]=bs;
	for(int i=1;i<=60;++i)g[i]=g[i-1]*g[i-1]%p;
	for(int i=1;i<=60;++i)f[i]=f[i-1]*(g[i-1]+1)%p;
	for(int i=60;~i;--i){
		if((1ll<<i)<=m){
			m-=(1ll<<i);
			ans=(ans+res*f[i]%p)%p;
			res=res*g[i]%p;
		}
	}
	return (ans+1)*start%p;
}
int main(){
	freopen("animism.in","r",stdin);
	freopen("animism.out","w",stdout);
	std::cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	std::cin>>n>>k>>p; 
	for(int i=0;i<k;++i){
		std::cin>>a[i];
		a[i+k]=a[i];
	}
	k*=2,b[0]=1;
	ll tmp=0;
	bool sign=n&1;
	if(!sign)tmp=1;
	for(int i=1;i<k;++i){
		b[i]=b[i-1]*a[i-1]%p;
		if((i&1)==sign)tmp=(tmp+b[i])%p;
	}
	b[k]=b[k-1]*a[k-1]%p;
	ll ans=solve(tmp,b[k],n/k-1),now=qpow(b[k],n/k);
	for(ll i=n-n%k;i<=n;++i)if((i&1)==sign)ans=(ans+now*b[i%k]%p)%p;
	std::cout<<ans;
	return 0;
}