CSP模拟54联测16

A.数数

不会。

暴力 dp 10pts。

好像数据有些水，直接输出 $\prod (b_i-c+1)$ 能得 30pts /yiw。

B.Palindrome

设原串为 $a$，最终形成的回文串为 $b$。最后显然是求 $a$ 关于 $b$ 的逆序对个数。

我们需要构造 $b$ 串，使得逆序对的个数最小化。

考虑一种贪心的构造，从前往后扫 $a$ 串，将这个位置上的字母直接放到首尾，若只剩下一个字母，那么肯定放中间。

然后树状数组求逆序对就好了，时间复杂度 $O(n\log n)$。

赛时差点被卡常了，本机测极限样例跑了 0.8s，还好交上去没挂。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
std::string s;
int n,a[1000005],b[1000005],c[1000005],cnt[1000005],mp[26],tot1;
inline int change(char ch){
	if(!mp[ch-'a']){mp[ch-'a']=++tot1;return tot1;}
	return mp[ch-'a'];
}
struct FenwickTree{
	int c[1000005];
	inline void modify(int x,int v){for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=v;}
	inline int query(int x){int sum=0;for(;x;x-=x&-x)sum+=c[x];return sum;}
}t;
std::map<std::pair<int,int>,int> f;
int main(){
	std::cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	std::cin>>s;n=s.size();
	for(int i=0;i<n;++i)a[i+1]=change(s[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i)cnt[a[i]]++;
	int mid=(n+1)>>1;
	for(int l=1,r=n,i=1;i<=n;++i){
		if(!cnt[a[i]])continue;
		if(cnt[a[i]]>1){
			b[l]=a[i];l++;
			b[r]=a[i];r--;
			cnt[a[i]]-=2;
			continue;
		}
		b[mid]=a[i];cnt[a[i]]--;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cnt[b[i]]++;
		f[{b[i],cnt[b[i]]}]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)cnt[b[i]]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cnt[a[i]]++;
		a[i]=f[{a[i],cnt[a[i]]}];
	}
	ll ans(0);
	for(int i=n;i;--i){
		t.modify(a[i],1);
		ans+=t.query(a[i]-1);
	}
	std::cout<<ans;
	return 0;
}

C.Permutation

因为 $p_i\mathrm{mod}{p}_{i+1}\le 2$，所以若 $p_i<p_{i+1}$，$p_i$ 必定为 $1$ 或 $2$。

我们把序列从 $1$ 和 $2$ 的位置断开，一定会得到两个单调递减的序列。

考虑直接 dp。设 $f_i$ 为已经填了 $[1,i]$ 这 $i$ 个数。

转移的话枚举一个 $j$，让 $(j,i]$ 作为同一个段接在后面。那么 $j$ 和 $i+1$ 则在另一个段中相邻，需要满足 $i+1\mathrm{mod}j\le 2$。

答案就是 $f_n$，因为是环，可以循环移位，所以还要乘 $n$。

这样直接枚举 $i,j$ 是 $O(n^2)$ 的。

因为 $i+1\mathrm{mod}j\le 2$ 只有 $0,1,2$ 三种情况，所以可以枚举 $j$ 的倍数转移。复杂度 $O(n\log n)$。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
const int P=998244353;inline void Add(int &x,int y){x=x+y<P?x+y:x+y-P;}
using ll=long long;
int n,f[1000005];
int main(){
	std::cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	std::cin>>n;if(n<3)std::cout<<n,exit(0);
	f[0]=2;
	for(int i=n-1;i>=3;--i){
		int res(0);
		for(int j=0;j<=n;j+=i)Add(res,f[j]),Add(res,f[j+1]),Add(res,f[j+2]);
		Add(f[i+1],res);
	}
	int ans(0);
	for(int i=0;i<=n;++i)Add(ans,f[i]);
	std::cout<<1ll*n*ans%P;
	return 0;
}

D.Zero

不会。