组合数学的一些公式
二项式定理
\[(x+y)^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} x^{k} y^{n-k}
\]
二项式反演
\[f_{n}=\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}g_{i} \Leftrightarrow g_{n}=\sum_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} {n\choose i} f_{i}
\]
其中 \(f_i\) 为至多选 \(i\) 个的方案数，\(g_{i}\) 为恰好选 \(i\) 个的方案数。
\[f_{n}=\sum_{i=n}^{m} {i\choose n}g_{i} \Leftrightarrow g_{n}=\sum_{i=n}^{m} (-1)^{i-n} {i\choose n} f_{i}
\]
其中 \(f_i\) 为钦定选 \(i\) 个的方案数，\(g_{i}\) 为恰好选 \(i\) 个的方案数。
范德蒙德卷积
\[\sum_{i=0}^{k} {n\choose i} {m\choose k-i}={n+m\choose k}
\]
推论：
\[\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}^{2}={2n\choose n-i}
\]
\[\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}{n\choose i-1}={2n\choose n+1}
\]
\[\sum_{i=0}^{m} {n\choose i}{m\choose i}={n+m\choose m}
\]
第二类斯特林数
递推式：
\[{n\brace 0}=[n=0]
\]
\[{n\brace m}={n-1\brace m-1}+m{n-1\brace m}
\]
通项公式:
\[{n\brace m}=\sum_{i=0}^{m} \frac{(-1)^{m-i} \,i^n }{i!(m-i)!}
\]
容斥原理
求几个集合的并
\[\vert\bigcup_{i=1}^{n} S_i\vert =\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \sum_{a_i<a_{i+1}} \vert\bigcap_{j=1}^{i} S_{a_j}\vert
\]
求几个集合的交
\[\vert \bigcap_{i=1}^{n} S_i\vert=\vert U\vert - \vert \bigcup_{i=1}^{n} S_i\vert
\]
右边直接容斥即可
错位排列
递推式：
\[D_1=0
\]
\[D_2=1
\]
\[D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})
\]
通项公式：
\[D_n=n! \sum_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{i!}
\]
k部分拆数
\[p(n,k)=\sum_{i=0}^{k} p(n-k,i) \Rightarrow p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)
\]
（未完工...）
