组合数学的一些公式

二项式定理

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

二项式反演

f_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) g_{i} \Leftrightarrow g_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} (\binom{n}{i}) f_{i}

其中 $f_{i}$ 为至多选 $i$ 个的方案数， $g_{i}$ 为恰好选 $i$ 个的方案数。

f_{n} = \sum_{i = n}^{m} (\binom{i}{n}) g_{i} \Leftrightarrow g_{n} = \sum_{i = n}^{m} (- 1)^{i - n} (\binom{i}{n}) f_{i}

其中 $f_{i}$ 为钦定选 $i$ 个的方案数， $g_{i}$ 为恰好选 $i$ 个的方案数。

范德蒙德卷积

\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{k - i}) = (\binom{n + m}{k})

推论：

\sum_{i = 0}^{n} {(\binom{n}{i})}^{2} = (\binom{2 n}{n - i})

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{i - 1}) = (\binom{2 n}{n + 1})

\sum_{i = 0}^{m} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{i}) = (\binom{n + m}{m})

第二类斯特林数

递推式：

{\binom{n}{0}} = [n = 0]

{\binom{n}{m}} = {\binom{n - 1}{m - 1}} + m {\binom{n - 1}{m}}

通项公式:

{\binom{n}{m}} = \sum_{i = 0}^{m} \frac{(- 1)^{m - i} i^{n}}{i! (m - i)!}

容斥原理

求几个集合的并

| ⋃_{i = 1}^{n} S_{i} | = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \sum_{a_{i} < a_{i + 1}} | ⋂_{j = 1}^{i} S_{a_{j}} |

求几个集合的交

| ⋂_{i = 1}^{n} S_{i} | = | U | - | ⋃_{i = 1}^{n} S_{i} |

右边直接容斥即可

错位排列

递推式：

D_{1} = 0

D_{2} = 1

D_{n} = (n - 1) (D_{n - 1} + D_{n - 2})

通项公式：

D_{n} = n! \sum_{i = 1}^{n} \frac{(- 1)^{i - 1}}{i!}

k部分拆数

p (n, k) = \sum_{i = 0}^{k} p (n - k, i) \Rightarrow p (n, k) = p (n - 1, k - 1) + p (n - k, k)

（未完工...）

posted @ 2023-08-07 19:53 Flandreqwq 阅读(97) 评论(1) 编辑收藏举报

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