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摘要： 1 定积分 在学习辛普森积分之前，我们需要了解一些基本的积分知识。 1.1 定义 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有界，在 \([a,b]\) 中插入若干个分点 \(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)，将区间 \([a,b]\) 分成 \(n\) 个小区间，每个 阅读全文

摘要： 1 引入 Min-Max 容斥，又称最值反演，是一种用于特定集合在已知最大值或最小值的情况下求另一者的算法。 举个例子来讲，我们不难注意到以下式子： \[\max(a,b)=a+b-\min(a,b) \]这就是 Min-Max 容斥的二元基本形式。容易发现，只要我们对所有数取相反数，那么用最小值求 阅读全文

摘要： 1 二项式反演 1.1 引入 二项式反演与容斥原理有着很大的联系，在很大程度上二项式反演可以实现容斥的效果。 我们先从基础的容斥原理讲起，首先二元的容斥形式非常简单，如下： \[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]更一般的，我们有： \[|A_1\cup A_2\cup\cd 阅读全文

摘要： 1 上升幂和下降幂 1.1 定义 我们定义上升幂 \(n^{\overline{m}}\) 和下降幂 \(n^{\underline{m}}\) 如下： \[\begin{aligned} n^{\overline{m}}=\prod _{i=n}^{n+m-1}i=\dfrac {(n+m-1)! 阅读全文

摘要： 多项式算法作为 OI 中较为困难的部分，其包含的知识是比较丰富的。本文将介绍多项式算法的基础——多项式乘法。 1 快速傅里叶变换 FFT 1.1 引入 首先我们知道一个多项式 \(f(x)\) 可以写作： \[f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i \]那么我们如果想对两个多项式做乘法，会 阅读全文

摘要： 1 阶 1.1 定义 由欧拉定理可知，对于 \(a\in\mathbb{Z},m\in \mathbb{N}^+\)，如果 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)。 因此满足同余式 \(a^n\equiv 1\pmod m\) 的最小正 阅读全文

摘要： 1 引入 插头 dp 是一种基于连通性状态压缩的动态规划，这一类问题要求我们记录元素的联通状况，例如在棋盘上走出一条回路等。此时朴素的状压 dp 难以处理，所以需要引入插头 dp 帮助我们求解。 开始前需要了解两个基本概念： 轮廓线：已决策状态和未决策状态的分界线。 插头：对于四连通的网格来讲，每一 阅读全文

摘要： 1 概述 首先我们需要知道一类问题，在这类问题中我们需要维护一个森林，支持加边和删边操作，然后要求维护树上的一些信息。这类问题称为动态树问题。 而 LCT，即 Link-Cut Tree，就是用于解决动态树问题的一种数据结构。它可以以 \(O(n\log n)\) 的均摊复杂度解决这类问题。 学习 阅读全文

摘要： 1 概念 替罪羊树是一种平衡树，它维护平衡的方式不是旋转或者随机权值，而是最简单的暴力重构。当在插入和删除的时候发现某个节点子树失衡就暴力拍平重构，如此保证均摊复杂度 \(O(\log n)\)。 当然这种思想不止运用在平衡树中，还用于重构其它的数据结构。 2 基本操作 2.1 重构 既然是替罪羊树 阅读全文

摘要： [CF2042D] Recommendations \(\text{Link}\) 发现所求即为包含 \([l,r]\) 的所有区间的交的长度减去 \([l,r]\) 的长度。考虑所有包含 \([l,r]\) 的区间 \([L,R]\)，不难发现其满足 \(L\le l,r\le R\)。由于我们要 阅读全文