凸包

合集 - 学习笔记(52)

1.随机化算法2024-02-272.组合数学2024-02-273.概率和期望2024-02-274.树链剖分2024-02-275.矩阵乘法与矩阵快速幂2024-02-276.最短路2024-02-277.卡特兰数、Prüfer 序列、BSGS2024-02-278.分块和莫队2024-02-279.AC 自动机2024-02-2710.平衡树2024-02-2711.基础字符串算法2024-02-2712.基础数论2024-02-2713.Miller-Rabin 与 Pollard-Rho2024-08-2314.广义后缀自动机2024-06-2515.后缀自动机 SAM2024-06-2216.回文自动机 PAM2024-06-1817.Manacher2024-06-1618.后缀数组2024-06-0819.01 分数规划2024-06-0220.网络流2024-05-0521.整体二分2024-05-0522.cdq 分治2024-05-0423.点分治2024-04-2124.虚树2024-04-1425.扫描线2024-04-1126.笛卡尔树2024-04-0627.基环树2024-04-0228.树哈希2024-03-0929.莫比乌斯反演2024-11-2830.二分图2024-11-0731.朱刘算法2024-10-2932.最大团2024-10-2933.杂项2024-08-2434.杜教筛2024-12-0135.拉格朗日插值2024-12-1036.线段树综合2024-12-1737.可持久化数据结构2024-12-2438.K-D Tree2024-12-2539.Burnside 引理与 Polya 定理2024-12-2740.线性基2024-12-3041.替罪羊树01-0942.LCT01-1843.插头 dp01-2044.原根01-2045.多项式乘法01-2246.斯特林数01-2347.二项式反演与斯特林反演01-2348.Min-Max 容斥01-2449.辛普森积分法01-2550.Min_25 筛02-03

51.凸包02-16

52.2-SAT03-03

收起

1 概念

凸包指的是在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形，可以理解为用一根绳子圈住所有点构成的一个多边形。而一个凸包又可以看做是上下两个部分组成，也就是常说的上凸壳和下凸壳。

实际操作中，我们很难直接维护出一整个凸包，所以一般分为上下凸壳进行维护。

2 维护方法

凸包的维护方法有很多种，在静态、动态插入、动态删除时均有不同的做法，下面简单介绍两种基本场景下的解决方式。

2.1 静态构建

静态构建凸包的算法是 Andrew 算法，其重点在于向量叉积这个运算。我们知道，对于两个向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，如果 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}>0$ 则说明 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 的左侧，否则说明 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 的右侧。

而根据凸包概念我们知道，上凸壳从左到右的轨迹总是右拐，而下凸壳从左到右的轨迹总是左拐，于是我们便可以用叉积简单判断出当前点插入是否合法。具体的，我们先对所有点排序，然后用一个单调栈去维护当前的凸包，如果待插入点 $P$ 与当前栈顶的两个节点 $S_1,S_2$ 构成的两个向量 $\overrightarrow{S_{1}P},\overrightarrow{S_2{S}_1}$ 不满足凸壳对应的关系，则弹出栈顶，直到合法后插入 $P$ 即可。

代码如下：

struct Point {
	int x, y;
	bool operator < (Point b) {//排序比较函数
		if(x == b.x) return y < b.y;
		return x < b.x;
	}
	Point operator - (Point b) {return {x - b.x, y - b.y};}//求出两点之间的向量
	int operator * (Point b) {return x * b.y - y * b.x;}//向量叉积
}a[Maxn];

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].x >> a[i].y;
	sort(a + 1, a + n + 1);
    //以构建上凸壳为例
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		while(top > 1 && (a[i] - a[top]) * (a[top] - a[top - 1]) <= 0) top--;
        //叉积小于 0 说明向左拐，不合法，弹栈
		a[++top] = a[i];
	}
	return 0;
}

2.2 动态加点

如果每次要动态加入一个点的话，我们就需要动态调整凸包的形态。以上凸壳为例，假设当前待插入点为 $P$，首先在当前凸包上找出 $P$ 的前驱 $A$ 和后继 $B$，首先判断 $P$ 与 $A,B$ 能否构成上凸壳，不能的话则不用插入；否则，将凸包从这里分成两半，然后找出 $P$ 和左右两半凸包的切点并连接，中间的点全部删除即可。

找切点可以直接二分查找，不过直接暴力判断也是可以的，因为每个点如果判断完不合法后就会被踢出凸包，并且再也不可能加入进来，所以每个点只会进出凸包一次，复杂度有保障。

实际中常用 set 或平衡树去维护凸包，于是复杂度就是 $O(n\log n)$ 的了。

采用暴力删点的代码如下：

set <Point> s;
void insert(Point p) {
	auto it = s.lower_bound(p);
	auto itr = it, itl = (--it);//找前驱后继 
	Point nxt = *itr, pre = *itl;
	if((nxt - p) * (p - pre) <= 0) return ;//先判断能否构成凸包
	auto tmp = itr++;
	while(1) {//向右暴力删点
		if(itr == s.end()) break;
		Point a = *tmp, b = *itr;
		if((b - a) * (a - p) <= 0) {//不合法删去
			s.erase(tmp);
		}
		else break;//合法就跳出
		tmp = itr++;
	}
	tmp = itl--;
	while(1) {//向左暴力删点
		if(tmp == s.begin()) break;
		Point a = *tmp, b = *itl;
		if((p - a) * (a - b) <= 0) {
			s.erase(tmp);
		}
		else break;
		tmp = itl--;
	}
	s.insert(p);
}

上面两种就是常见的维护凸包的方式，剩下的就是利用各种数据结构去维护凸包，不过这些方法都或多或少会丢失凸包的具体信息，所以只适用于利用凸包求最优解的问题，下面再举几例：

• 利用线段树维护每个区间上的凸包，通过暴力合并即可得出任意区间上的凸包信息。复杂度会因为线段树变为 $O(n{\log }^{2}n)$。
• 利用分块维护每个块内的凸包，当有一些点会动态改变的时候，对整块记录偏移量，对散块进行暴力重构即可。取块长为 $\sqrt{n}$ 即可得到一个 $O(\sqrt{n}\log n)$ 的复杂度。

3 应用

3.1 应用场景

凸包的常见应用场景实际上无非两种，即实际维护凸包信息以及最优解问题。

• 维护凸包信息：题目中明确说了要求凸包周长、面积，或者可以转化为求凸包周长、面积等需要知道凸包上每一个点的信息时使用。此时上面提到的一些维护方式便不再适用。
• 最优解问题：这个相信大家更熟悉，实际上类似于斜率优化 dp。在某些问题中我们会有若干决策点，而我们可以得出当某个点更优时其斜率满足某个关系，然后可以知道最优解一定在所有决策点构成的上凸壳 / 下凸壳上，然后通过二分就可以找到最优决策点。

3.2 例题

例 1 旅行规划

$\text{Link}$

显然我们需要维护的就是每一个点的前缀和信息，这样第二问就是求一个区间最大值。而第一个操作实际上可以转化为区间 $[l,r]$ 加上一个公差为 $k$ 的等差数列，以及区间 $[r+1,n]$ 加上同一个数 $(r-l+1)k$。

考虑困难的实际上是前一个操作，也就是加等差数列，这个很难用线段树直接维护。那么考虑用万能的分块去解决，对于整块而言，加上若干等差数列后每个位置的增加值依然相当于一个等差数列，并且每一个位置最终的前缀和很容易写成 $s_i+k_p\times i$ 的形式，其中 $s_i$ 表示每个位置原始的前缀和，$k_p$ 表示当前块内加上的等差数列的公差和。自然这样算会有一些多余的部分，给每一个块打一个 $tag$ 即可。

现在每一个块内的元素贡献就可以写成一个一次函数的形式了，我们要求最后的答案 $an{s}_i=s_i+k_p\times i$ 的最大值，移项后得 $s_i=-k_p\times i+an{s}_i$，即给定若干点 $(i,s_i)$，求过当前点斜率 $-k_p$ 的直线的截距最大值，显然答案一定在上凸壳上，所以对每个块内维护一个凸包即可。

剩下的细节例如散块的处理等不再赘述，留给读者自行思考。

例 2 [NOI2014] 购票

$\text{Link}$

显然此题需要考虑 dp，那么设 $dp(i)$ 表示 $i\to 1$ 的最小花费，同时定义 $dis(i)$ 表示 $i\to 1$ 的距离。那么不难发现转移方程为：

$$dp(i)=\underset{di{s}_i-di{s}_j\le l_i}{min}(dp(j)+(di{s}_i-di{s}_j)\times p_i+q_i)$$

这个式子的转化就太过套路了，我们要求 $dp(i)=dp(j)+(di{s}_i-di{s}_j)\times p_i+q_i$ 的最小值，也就是 $dp(i)-di{s}_i{p}_i-q_i=dp(j)-di{s}_j\times p_i$ 的最小值。移项可得 $dp(j)=p_i\times di{s}_j+(dp(i)-di{s}_i{p}_i-q_i)$。显然点的坐标就是 $(di{s}_j,dp(j))$，斜率是 $p_i$，要求截距最小值，显然答案都在下凸壳上。维护凸包做斜优 dp 即可。

不过下面还有一个限制 $di{s}_i-di{s}_j\le l_i$，移项后得 $di{s}_j\ge di{s}_i-l_i$。这种限制条件如果放在序列上我们一般会采用 CDQ 分治去操作，那么放在树上自然想到用点分治去操作。由于树是有根的，所以写一个有根树点分治即可。

例 3 [CTSC2016] 时空旅行

$\text{Link}$

发现给出的 $y,z$ 根本没用，所以只需要考虑 $x$。假如某个时空内固定在了 $x_0$ 处，那么对于任意一个点，其贡献就是 $(x_i-x_0{)}^2+c_i$。展开后可得 $x_i^2-2x_i{x}_0+x_0^2+c_i$。我们要求 $ans=x_i^2-2x_i{x}_0+x_0^2+c_i$ 的最小值，移项可得 $x_i^2+c_i=2x_0\times x_i+(ans-x_0^2)$，也就是点 $(x_i,x_i^2+c_i)$，斜率 $2x_0$，求截距最小值。显然答案在下凸壳上。

不过此题的难点在于维护每一个版本的凸壳信息。首先可以发现不同版本的依赖关系构成一棵树，考虑利用 DFS 序进行操作，然后可以进一步发现每一个星球在 DFS 序上出现的区间恰好只有 $O(n)$ 段，于是我们就可以在 DFS 序上建线段树，然后利用线段树维护凸包信息即可。当然了，由于凸包信息肯定无法下放，所以需要利用标记永久化的思路，查询时查找叶子节点根链上所有凸包的最优解即可。复杂度是 $O(n{\log }^{2}n)$ 的。

但是这样还不够，实际上我们还可以省掉一个 $\log$。这也是线段树维护区间凸包的一个经典技巧。首先在插入时我们显然可以离线然后按 $x$ 升序插入，这样插入可以直接利用单调栈维护了。然后在查询时我们同样按 $x_0$ 升序查询，因为我们查询的斜率是 $2x_0$，所以随着斜率增长最优决策点一定更靠后，维护一个单调不减的指针即可。实际上这就是单调队列的思路。这样做的复杂度就是 $O(n\log n)$ 了。

例 4 [NOI2017] 分身术

$\text{Link}$

这道题就是一个单纯维护凸包信息的题了，不过依然很难做。首先将凸包拆成上下凸壳分别维护面积，然后考虑删掉 $k$ 个点后凸包的变化。

首先考虑 $k=1$，如果这个点不在凸包上那么不会影响答案，而如果在凸包上，则我们只需要删去这个点，求新的凸包即可。而这个新的凸包实际上只可能有两种来源，一种是原来的凸包，另一种是去掉原来的凸包后剩下的点的凸包（也就是第二层凸包）。

根据这个结论我们不难想到，我们可以维护出 $k+1$ 层凸包，根据抽屉原理这样做一定可以得到删掉 $k$ 个点后的凸包。接下来我们从内向外依次处理，对于更靠外的凸包，除了其上被删去的点之外会剩下一些点，我们只需要用这些点去覆盖掉当前凸包上的一部分即可。具体的，假如当前更靠外一层的凸包有一段没有被删除的点，其左端点为 $L$，右端点为 $R$，我们只需要找到 $L$ 左边的切点和 $R$ 右边的切点，将这中间的部分删除并连上 $[L,R]$ 这一段凸包即可得出合并后的新凸包。

这个操作的实现只需要用线段树即可。对每个凸包维护一个权值线段树表示其包含哪些给定点（注意要先排序）。对于找切点采用线段树二分，对于删除采用线段树分裂，对于合并采用线段树合并即可。在 pushup 时利用向量叉积算出合并时多出来的面积，然后就可以得出最终的答案了。另一个值得注意的点时我们不能破坏原有凸包的信息，所以合并分裂时需要采用新建节点的方式处理。