提高组图论专题 2 做题记录

提高组图论专题 2 做题记录

^A [NOIP2013 提高组] 华容道

显然想要将目标棋子挪到目标位置，肯定是依靠空白格子来移。也就是说，空白格子始终会在目标棋子四周来帮助目标棋子移动。所以我们设的状态是 \((x,y,k)\) 表示当前目标棋子在 \((x,y)\)，空白格子在它的哪个方位。

转移有两种：\((x,y,k)\to (x,y,k')\)（移动空白格子） 和 \((x,y,k)\to(x',y',k')\)（交换空白和目标棋子）。前一种 BFS 得到边权，后一种边权直接为 \(1\)。对于每一个询问，先将空白格子移到目标格子旁边，然后按照上面的连边跑最短路即可。

B [雅礼国庆 2017 Day6] Star Way To Heaven

首先有显然做法：二分最小距离，然后暴力并查集连边，判断上边界和下边界是否在一个连通块内即可。理论上只能拿到 \(80\) 分，但是随便卡卡常就能直接艹过去。

考虑正解。考虑到我们的目标就是让上下边界被割开，那么假如我们将这些割开区间的圆心从上到下顺次连边，它们一定是所有圆心构成的完全图中最小的边。这启发我们利用最小生成树求解，因为最小生成树既可以保证选的边离圆心最近，也可以保证本身就是最小的边。当我们跑到上下边界相连的时候即可停止，此时求出所有已连边的最大值，除以 \(2\) 即为答案。

由于图是完全图，因此用不带堆优化的 Prim 算法即可 \(O(k^2)\) 通过。

C [CF1005F] Berland and the Shortest Paths

显然考虑最短路树。对于每一个点，求出它在最短路树上可能的前驱，然后暴力 dfs 去看选哪些前驱，也就得出了选哪些边。

注意此题用链式前向星会 MLE，因此应当使用邻接表，或者用栈手写递归。

*D [JOI 2017 Final] 足球

图论建模题，和网络流的感觉有些像。考虑只去关注足球的状态，那么它有两种：在球员脚下或在空中飞行。而后一种又分为两种：横向飞行或纵向飞行。那么为了在模型中描述这三种状态，我们就需要用到经典技巧：拆点。

接下来连边。按照题目所说的将相邻格子的对应点连起来。值得注意的只有一种情况：由飞行状态改为在球员脚下状态。此时需要有一个球员跑到这个格子并控住这个球，因此我们还需要求出离这个格子最近的球员。BFS 一边即可。

最后直接跑最短路即可。我们不必关注其他情况，也不必关注重边，因为它们一定不会比正确答案优。

E [CF1981E] Turtle and Intersected Segments

最近模拟赛做这种生成树的题还比较多。考虑什么样的边一定不优，假如三条线段两两相交，那么我们只需要按照 \(a\) 的大小顺次相连即可，而最小的和最大的连一定不优。于是我们就可以得到这样的结论：

• 每一条线段只需要和与它相交且差的绝对值最小的线段连边即可。

差的绝对值最小其实就是求前驱后继，而统计相交时我们可以只统计右端点在这条线段上的线段。容易想到的是直接上树套树暴力解决，但是有更简单的方式。考虑离散化后扫描线，单次插入或删除一条线段，并用 set 维护当前在扫描线上的线段 \(a\) 的值。插入一条线段时用 set 求前驱后继即可。最后暴力跑一边 Kruskal 即可得出答案。

^F [JOISC 2017 Day2] 火车旅行

发现这道题是在序列上走，求最优解的问题。那么可以考虑倍增求解。

设 \(l(i,j)\) 表示从 \(i\) 出发走 \(2^j\) 能达到的最左的位置，\(r(i,j)\) 同理。注意到题目中允许走回头路，因此转移的时候需要从两端都进行转移。以 \(l(i,j)\) 为例：

\[l(i,j)=\min\{l(l(i,j-1),j-1),l(r(i,j-1),j-1)\} \]

接下来问题就是怎么统计答案。考虑从较左的点开始扩展区间，直到再扩展就会包含较右点。然后再扩展较右点，直到在扩展就会和刚才的区间有交。此时两个区间最后走的点中间一定不会再有停靠点了（否则一定还可以扩展），直接输出此时的答案即可。

*G [雅礼集训 2018 Day8] A

最小树形图模板题。

*H [JSOI2010] 满汉全席

2-SAT 模板题。将每一种材料分成汉式和满式两种，根据每一位评委的要求连边跑 SCC 即可。