笛卡尔树

合集 - 学习笔记(52)

1.随机化算法2024-02-272.组合数学2024-02-273.概率和期望2024-02-274.树链剖分2024-02-275.矩阵乘法与矩阵快速幂2024-02-276.最短路2024-02-277.卡特兰数、Prüfer 序列、BSGS2024-02-278.分块和莫队2024-02-279.AC 自动机2024-02-2710.平衡树2024-02-2711.基础字符串算法2024-02-2712.基础数论2024-02-2713.Miller-Rabin 与 Pollard-Rho2024-08-2314.广义后缀自动机2024-06-2515.后缀自动机 SAM2024-06-2216.回文自动机 PAM2024-06-1817.Manacher2024-06-1618.后缀数组2024-06-0819.01 分数规划2024-06-0220.网络流2024-05-0521.整体二分2024-05-0522.cdq 分治2024-05-0423.点分治2024-04-2124.虚树2024-04-1425.扫描线2024-04-11

26.笛卡尔树2024-04-06

27.基环树2024-04-0228.树哈希2024-03-0929.莫比乌斯反演2024-11-2830.二分图2024-11-0731.朱刘算法2024-10-2932.最大团2024-10-2933.杂项2024-08-2434.杜教筛2024-12-0135.拉格朗日插值2024-12-1036.线段树综合2024-12-1737.可持久化数据结构2024-12-2438.K-D Tree2024-12-2539.Burnside 引理与 Polya 定理2024-12-2740.线性基2024-12-3041.替罪羊树01-0942.LCT01-1843.插头 dp01-2044.原根01-2045.多项式乘法01-2246.斯特林数01-2347.二项式反演与斯特林反演01-2348.Min-Max 容斥01-2449.辛普森积分法01-2550.Min_25 筛02-0351.凸包02-1652.2-SAT03-03

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1 定义

笛卡尔树是一种二叉树，每一个节点由二元组 $(k,w)$ 组成。要求 $k$ 满足二叉搜索树的性质，$w$ 满足堆的性质。

当 $k,w$ 都确定，且 $k,w$ 互不相同时，笛卡尔树的结构是唯一的，如图：

看到这个定义，会发现与 Treap 十分相似。

实际上，Treap 就是一种特殊的笛卡尔树。

通常情况下，将下标作为 $k$（如上图）。

2 建树

2.1 过程

首先由定义可以直接得出一个 $O(n\log n)$ 算法，但是重点不在于此。

笛卡尔树有线性的构造方式。

我们先将所有元素按照 $k$ 排序，那么这样我们按顺序插入的时候，一定是插入到树的右链（即从根节点不断走向右儿子所形成的链）。

那么此时我们观察右链，假设当前节点是 $p$，那么现在要满足的就是堆的性质。我们从右链末端开始比较，当出现第一个 $x$ 满足 $x_w<p_w$ 时，就将 $p$ 接到 $x$ 右儿子上，而 $x$ 原先的右儿子变为 $p$ 的左儿子。

如果没有找到这个 $x$，那么 $p$ 就成为了根节点。

现在我们考虑维护右链，因为维护右链的过程中就可以建好树。显然右链的 $w$ 是要满足单调递增的。那么插入元素的过程中维护一个单调递增的结构，这显然是单调栈。

2.2 代码

有了上面的分析，代码就不难了：

int s[Maxn], top;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
	int k = top;
	while(k && w[s[k]] > w[i]) k--;
	if(k) rs[s[k]] = i;
	if(k < top) ls[i] = s[k + 1];
	s[++k] = i;
	top = k;
}

3 用途

笛卡尔树适合解决与最值相关的问题，不过先给出一些性质（以小根堆为例）：

1. 以 $u$ 为根的子树是一段连续的区间，且区间最小值就是 $u_w$
2. 区间上 $[l,r]$ 的最小值就是 $\text{Lca}(l,r{)}_w$。
3. 若 $y$ 随机，则树高期望为 $\log$。（这样做就是 Treap 了）。

下面举一例：

3.1 [例 1] 最大子矩形问题

形式化题意：给定数组 $a$，求 $max\{\underset{i=l}{\overset{r}{min}}(a_i)\times (r-l+1)\},1\le l\le r\le n$。

这道题是经典的单调栈题，不过也可以用笛卡尔树。

具体的，我们以下表为 $k$，值为 $w$ 建立笛卡尔树。接下来我们枚举最小值，然后找最小值为它的最长区间。

由上面的性质 $1$​ 得，最长区间就是子树大小，于是两者相乘取最大值即可。