AC 自动机

合集 - 学习笔记(52)

1.随机化算法2024-02-27 2.组合数学2024-02-27 3.概率和期望2024-02-27 4.树链剖分2024-02-27 5.矩阵乘法与矩阵快速幂2024-02-27 6.最短路2024-02-27 7.卡特兰数、Prüfer 序列、BSGS2024-02-27 8.分块和莫队2024-02-27

9.AC 自动机2024-02-27

10.平衡树2024-02-27 11.基础字符串算法2024-02-27 12.基础数论2024-02-27 13.Miller-Rabin 与 Pollard-Rho2024-08-23 14.广义后缀自动机2024-06-25 15.后缀自动机 SAM2024-06-22 16.回文自动机 PAM2024-06-18 17.Manacher2024-06-16 18.后缀数组2024-06-08 19.01 分数规划2024-06-02 20.网络流2024-05-05 21.整体二分2024-05-05 22.cdq 分治2024-05-04 23.点分治2024-04-21 24.虚树2024-04-14 25.扫描线2024-04-11 26.笛卡尔树2024-04-06 27.基环树2024-04-02 28.树哈希2024-03-09 29.莫比乌斯反演2024-11-28 30.二分图2024-11-07 31.朱刘算法2024-10-29 32.最大团2024-10-29 33.杂项2024-08-24 34.杜教筛2024-12-01 35.拉格朗日插值2024-12-10 36.线段树综合2024-12-17 37.可持久化数据结构2024-12-24 38.K-D Tree2024-12-25 39.Burnside 引理与 Polya 定理2024-12-27 40.线性基2024-12-30 41.替罪羊树01-09 42.LCT01-18 43.插头 dp01-20 44.原根01-20 45.多项式乘法01-22 46.斯特林数01-23 47.二项式反演与斯特林反演01-23 48.Min-Max 容斥01-24 49.辛普森积分法01-25 50.Min_25 筛02-03 51.凸包02-16 52.2-SAT03-03

1 引入

对于传统 KMP，可以解决单模式串匹配的问题。

但是对于下面的问题，好像 KMP 就显得有些弱了：

给定 $n$ 个模式串 $s_{i}$ 和一个文本串 $t$ ，求有多少个不同的模式串在文本串里出现过。

那么对于这个问题，我们就要使用 AC 自动机求解。

2 实现

以上面的问题为例讲解 AC 自动机。

2.1 Trie 树

先将所有 $n$ 个模式串建一颗 Trie 树。

举例：

假如我们匹配字符串，匹配到了 $4$ 号点之后，还需要从根开始匹配吗？

那么这样的效率太过低下。我们发现，匹配上 $4$ 的时候肯定也匹配上了 $7$ 号点，因此可以直接跳到 $7$ 号。

这和 KMP 的 nxt 太像了，我们叫它失配指针 $f a i l$ 。

2.2 Fail 指针

2.2.1 Fail 指针的意义

对于上面的理解， $f a i l_{i}$ 指的是 $i$ 失配时能调到的位置。

他的实质是：当前字符串最长的能在 Trie 树上找到的后缀的位置。

因此求出 fail 指针就是接下来的问题。

2.2.2 求解 Fail 指针

2.2.2.1 理论

首先我们有 $f a i l_{1} = 0$ 。

然后设点 $i$ 的父亲是 $f a$ ， $f a$ 指向 $f a i l_{f a}$ 。那么如果 $f a i l_{f a}$ 有和 $i$ 的字符相同的儿子 $j$ ，则 $f a i l_{i} = j$ 。

其实很好理解，两个字符串同时加上一个字符，一定还是后缀。

由此我们发现求 $f a i l_{i}$ 要先求出 $f a i l_{f a}$ ，我们考虑使用 Bfs 的方式来求解 Fail 指针。

2.2.2.2 代码实现

注意一些细节：

我们在刚开始的时候将 $0$ 号点的儿子全部指向 $1$ 。
如果有一个节点 $p$ 不存在某个儿子 $i$ ，那么就将这个 $i$ 节点设为 $f a i l_{p}$ 的值与 $i$ 相同的儿子。这样可以保证任意节点的任意儿子都存在，并且满足 $f a i l$ 的定义。

可以画图理解第二条，这里相当于通过修改 Trie 的结构来完成求解。

代码：

void build() {
	for(int i = 0; i <= 25; i++) {
		tr[0].son[i] = 1;
	}
	q.push(1);
	tr[1].fail = 0;
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0; i <= 25; i++) {
			int v = tr[u].son[i];
			int fa = tr[u].fail;
			if(!v) {
				tr[u].son[i] = tr[fa].son[i];	
				continue;
			}
			tr[v].fail = tr[fa].son[i];
			q.push(v);
		}
	}
}

2.3 查询

求出 Fail 指针后，查询就很简单了。

如果一个字符串匹配成功，那么他的 $f a i l$ 一定成功， $f a i l$ 的 $f a i l$ 也会成功……；

那么为了避免重复，我们每次经过一个点就打标记为 $- 1$ 。

我们在 Trie 中再维护一个 $f l a g$ 即可。

代码：

int query(string s) {
	int u = 1, ans = 0;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		int c = s[i] - 'a';
		int k = tr[u].son[c];
		while(k > 1 && tr[k].flag != -1) {
			ans += tr[k].flag;
			tr[k].flag = -1;
			k = tr[k].fail;
		}
		u = tr[u].son[c];
	}
	return ans;
}

2.4 完整代码

P3808 AC 自动机（简单版）的完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int Maxn = 1e6 + 5;

int n;
string s[Maxn], t;

struct Trie {
	int son[27], fail, flag;
}tr[Maxn];
int cnt = 1;

void insert(string s) {
	int u = 1;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		int c = s[i] - 'a';
		if(!tr[u].son[c]) {
			tr[u].son[c] = ++cnt;
		}
		u = tr[u].son[c];
	}
	tr[u].flag++;
}

queue <int> q;

void build() {
	for(int i = 0; i <= 25; i++) {
		tr[0].son[i] = 1;
	}
	q.push(1);
	tr[1].fail = 0;
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0; i <= 25; i++) {
			int v = tr[u].son[i];
			int fa = tr[u].fail;
			if(!v) {
				tr[u].son[i] = tr[fa].son[i];	
				continue;
			}
			tr[v].fail = tr[fa].son[i];
			q.push(v);
		}
	}
}

int query(string s) {
	int u = 1, ans = 0;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		int c = s[i] - 'a';
		int k = tr[u].son[c];
		while(k > 1 && tr[k].flag != -1) {
			ans += tr[k].flag;
			tr[k].flag = -1;
			k = tr[k].fail;
		}
		u = tr[u].son[c];
	}
	return ans;
}

int T;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin >> T;
	while(T--) {
		memset(tr, 0, sizeof tr);
		cin >> n;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			cin >> s[i];
			insert(s[i]);
		}
		cin >> t;
		build();
		cout << query(t) << '\n';	
	}
	return 0;
}

3 一些应用及优化

3.1 应用

我们来看 P3796 AC 自动机（简单版 II）。

由于要求出现次数最多的字符串，我们将 $f l a g$ 设为字符串的编号。

同时由于要重复计算，因此不能打标记为 $- 1$ 。

最后开一个 $a n s$ 数组，对于有标记的就 $a n s + +$ 。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int Maxn = 1e6 + 5;

int n;
string s[200], t;

struct Trie {
	int son[27], flag, fail;
}tr[Maxn];
int cnt = 1;

void insert(string s, int id) {
	int u = 1;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		int c = s[i] - 'a';
		if(!tr[u].son[c]) {
			tr[u].son[c] = ++cnt;
		}
		u = tr[u].son[c];
	}
	tr[u].flag = id;
}

queue <int> q;

void build() {
	for(int i = 0; i <= 25; i++) {
		tr[0].son[i] = 1;
	}
	q.push(1);
	tr[1].fail = 0;
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0; i <= 25; i++) {
			int v = tr[u].son[i];
			int fail = tr[u].fail;
			if(!v) {
				tr[u].son[i] = tr[fail].son[i];
				continue;
			}
			tr[v].fail = tr[fail].son[i];
			q.push(v);
		}
	}
}

int ans[205];

void query(string s) {
	int u = 1;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		int c = s[i] - 'a';
		int k = tr[u].son[c];
		while(k > 1) {
			if(tr[k].flag) {
				ans[tr[k].flag]++;
			}
			k = tr[k].fail;
		}
		u = tr[u].son[c];
	}
}

int num = 0, p = 0;
string tmp[205];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	while(1) {
		cin >> n;
		if(n == 0) break;
		memset(tr, 0, sizeof tr);
		memset(ans, 0, sizeof ans);
		cnt = 1;
		num = p = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			cin >> s[i];
			insert(s[i], i);
		}
		cin >> t;
		build();
		query(t);
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			if(ans[i] > num) {
				num = ans[i];
				p = 1;
				tmp[p] = s[i];
			}
			else if(ans[i] == num) {
				tmp[++p] = s[i];
			}
		}
		cout << num << '\n';
		for(int i = 1; i <= p; i++) {
			cout << tmp[i] <<'\n';
		}
	}
	return 0;
}

3.2 优化

我们来看 P5357 【模板】AC 自动机。

我们发现这道题好像和上一道题一样，然而交上去发现，TLE 76pts。

那么我们来看下面的优化。

3.2.1 拓扑排序建图优化

对于刚刚的代码，复杂度是 $O (n m)$ 级别的，因为我们在查询的时候是反复暴力跳 $f a i l$ 来求的。同时又由于无法打标记，所以复杂度很高。

我们想让每个点只经过一次，有办法吗？

我们发现，每一个点会对他的所有 $f a i l$ 上的父亲做出贡献。因此我们在遍历的时候只将这个点的 $a n s$ 加上一。在最后统计的时候，我们将 $a n s_{f a i l_{i}}$ 加上 $a n s_{i}$ 即可求出正确答案。

那么如何更新呢？我们将所有的 $f a i l$ 指针提取出来（程序里并不用真的提取），会形成一个 DAG，那么我们直接拓扑排序递推一下就可以了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int Maxn = 2e5 + 5;
const int Maxm = 1e6 + 5;

int n;
string s[Maxn], t;

struct Trie {
	int son[27], flag, fail, ans;
}tr[Maxm];
int cnt = 1;

int num[Maxn];

void insert(string s, int id) {
	int u = 1;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		int c = s[i] - 'a';
		if(!tr[u].son[c]) {
			tr[u].son[c] = ++cnt;
		}
		u = tr[u].son[c];
	}
	if(!tr[u].flag) tr[u].flag = id;
	num[id] = tr[u].flag;
}

queue <int> q;
int in[Maxn];

void build() {
	for(int i = 0; i <= 25; i++) {
		tr[0].son[i] = 1;
	}
	q.push(1);
	tr[1].fail = 0;
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0; i <= 25; i++) {
			int v = tr[u].son[i];
			int fail = tr[u].fail;
			if(!v) {
				tr[u].son[i] = tr[fail].son[i];
				continue;
			}
			tr[v].fail = tr[fail].son[i];
			in[tr[v].fail]++;
			q.push(v);
		}
	}
}

int ans[Maxn];

void query(string s) {
	int u = 1;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		int c = s[i] - 'a';
		u = tr[u].son[c];
		tr[u].ans++;
	}
}

void toposort() {
	for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
		if(!in[i]) q.push(i);
	}
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		if(tr[u].flag) ans[tr[u].flag] = tr[u].ans;
		int v = tr[u].fail;
		in[v]--;
		tr[v].ans += tr[u].ans;
		if(!in[v]) q.push(v);
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> s[i];
		insert(s[i], i);
	}
	cin >> t;
	build();
	query(t);
	toposort();
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cout << ans[num[i]] << '\n';
	}
	return 0;
}

3.2.2 子树求和

与拓扑排序优化思路类似，预先将子树求和，询问时累加即可。

此处不在赘述~~（主要因为懒得写了）~~。

posted @ 2024-02-27 17:52 UKE_Automation 阅读(43) 评论(0) 编辑收藏举报

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1 引入

2 实现

2.1 Trie 树

2.2 Fail 指针

2.2.1 Fail 指针的意义

2.2.2 求解 Fail 指针

2.2.2.1 理论

2.2.2.2 代码实现

2.3 查询

2.4 完整代码

3 一些应用及优化

3.1 应用

3.2 优化

3.2.1 拓扑排序建图优化

3.2.2 子树求和

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