卡特兰数、Prüfer 序列、BSGS

合集 - 学习笔记(52)

1.随机化算法2024-02-272.组合数学2024-02-273.概率和期望2024-02-274.树链剖分2024-02-275.矩阵乘法与矩阵快速幂2024-02-276.最短路2024-02-27

7.卡特兰数、Prüfer 序列、BSGS2024-02-27

8.分块和莫队2024-02-279.AC 自动机2024-02-2710.平衡树2024-02-2711.基础字符串算法2024-02-2712.基础数论2024-02-2713.Miller-Rabin 与 Pollard-Rho2024-08-2314.广义后缀自动机2024-06-2515.后缀自动机 SAM2024-06-2216.回文自动机 PAM2024-06-1817.Manacher2024-06-1618.后缀数组2024-06-0819.01 分数规划2024-06-0220.网络流2024-05-0521.整体二分2024-05-0522.cdq 分治2024-05-0423.点分治2024-04-2124.虚树2024-04-1425.扫描线2024-04-1126.笛卡尔树2024-04-0627.基环树2024-04-0228.树哈希2024-03-0929.莫比乌斯反演2024-11-2830.二分图2024-11-0731.朱刘算法2024-10-2932.最大团2024-10-2933.杂项2024-08-2434.杜教筛2024-12-0135.拉格朗日插值2024-12-1036.线段树综合2024-12-1737.可持久化数据结构2024-12-2438.K-D Tree2024-12-2539.Burnside 引理与 Polya 定理2024-12-2740.线性基2024-12-3041.替罪羊树01-0942.LCT01-1843.插头 dp01-2044.原根01-2045.多项式乘法01-2246.斯特林数01-2347.二项式反演与斯特林反演01-2348.Min-Max 容斥01-2449.辛普森积分法01-2550.Min_25 筛02-0351.凸包02-1652.2-SAT03-03

收起

1 卡特兰数

1.1 概述

卡特兰数的前几项是 $1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862\cdots$。

卡特兰数在组合数学中有着许多应用。下面给出一个经典例子：

在网格中向右或向上走，从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$，并且不能越过对角线的路径条数。

该问题的结果就是卡特兰数，记为 $H_n$。

1.2 通项公式

卡特兰数的通项公式有很多，下面给出几个常用公式：

1. （递归定义）$H_{n+1}=H_0{H}_n+H_1{H}_{n-1}+\cdots +H_n{H}_0$。
2. （递推公式）$H_n={\displaystyle \frac{4n-2}{n+1}}{H}_{n-1}$。
3. （通项公式）$H_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}{C}_{2n}^n$。

1.3 应用

卡特兰数的特征是：一种操作数量时刻不能超过另一种操作数量，或者两种操作不能有交集。这样的方案数一般是卡特兰数。

下面举几个经典例子：

1. 在网格中向右或向上走，从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$，并且不能越过对角线的路径条数。
2. $n$ 个元素以此进栈，合法的出栈序列。
3. $n$ 对括号的合法匹配方案。
4. $n$ 个节点构成的二叉树的形态数。
5. 在圆上选择 $2n$ 个点，将这些点成对连接起来使得所得到的 $n$ 条线段不相交的方案数。
6. 对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方案数。

2 Prüfer 序列

2.1 概念

Prüfer 序列是一种将一颗有标号树用唯一一个序列表示的方法。

Prüfer 序列是这样构造的：每次选择一个标号较小的叶子结点并将其删去，同时在序列中记录它所连接的那个节点。重复 $n-2$ 次后只剩下两个节点，算法结束。

根据分析可以直接得到一段 $O(n\log n)$ 复杂度的代码。

下面我们讲解其优化以及其他应用。

2.2 线性构造

Prüfer 序列有一种 $O(n)$ 构造的方式。如下所示：

1. 维护一个指针 $p$ 指向编号最小的叶子结点。
2. 删除 $p$ 指向的节点，并检查是否有新的叶节点产生。
3. 如果产生，则比较新节点编号与 $p$ 的关系，如果小于 $p$ 就将该节点删除，检查其是否产生新叶子结点。重复上述步骤直到出现新节点编号大于 $p$。
4. 让 $p$​ 增加，直到遇到一个新的叶子结点。

2.3 Prüfer 序列重建树

2.3.1 非线性解法

首先我们需要知道一条性质：每个结点在 Prüfer 序列中出现的次数是其度数减 $1$。

然后我们就能得到标号最小的叶子节点编号，与当前枚举到的序列的点连接，同时减掉两个点的度。最后我们会剩下两个点，将他们连接即可。

这还是一个 $O(n\log n)$​ 的解法。

2.3.2 线性解法

发现两者的非线性解法出乎意料的一致，那么线性解法也是一致的。在此不再赘述。

2.4 Cayley 公式

$n$ 个点的完全图有 $n^{n-2}$ 颗生成树。

十分简洁的定理。如何证明呢？考虑 Prüfer 序列。任意一个长度为 $n-2$ 的值域 $[1,n]$ 的整数序列都是原图生成树。因此方案数为 $n^{n-2}$。

3 BSGS

3.1 概述

BSGS（baby step giant step），又叫大步小步算法。用于求解离散对数（即模意义下对数）的算法。也就是已知 $a^x\equiv b(\mathrm{mod}m)$（保证 $a,m$ 互质），求 $x$。

下面将一步步讲解 BSGS 算法。

3.2 算法内容

3.2.1 暴力法

既然 $a,m$ 互质，我们直接想到欧拉定理。由于 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

也就是说，$a^x$ 模 $m$ 的余数有一个长度为 $\phi (m)$ 的循环节。因此我们直接暴力枚举 $[1,\phi (m)]$。最坏复杂度 $O(m)$。

3.2.2 暴力优化

我们继续延续上面暴力法的思想。将 $x$ 拆成 $At-B$，则原式就化为 $a^{At-B}\equiv b(\mathrm{mod}m)$。即 $a^{At}\equiv b{a}^B(\mathrm{mod}m)$。我们发现后面的的取值可以预处理。然后我们固定一个 $t$，计算出左边的可能取值。当这个值在右边出现过，$At-B$ 就是所求 $x$。

一般取 $t=\lceil \sqrt{m}\rceil$ 最合适，时间复杂度是 $O(\sqrt{m})$​。

3.2.3 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

typedef long long LL;
const int Maxn = 2e5 + 5;

unordered_map <int, int> hs;

void BSGS(int a, int b, int m) {
	int cur = 1, t = sqrt(m) + 1;
	for(int B = 1; B <= t; B++) {
		cur = cur * a % m;
		hs[cur * b % m] = B;
	}	
	int now = cur;
	for(int A = 1; A <= t; A++) {
		auto it = hs.find(now);
		if(it != hs.end()) {
			cout << A * t - it->second;
			return ;
		}
		now = now * cur % m;
	}
	cout << "no solution";
	return ;
}

int p, b, n;

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin >> p >> b >> n;
	BSGS(b, n, p);
	return 0;
}