基础数论

合集 - 学习笔记(52)

1.随机化算法2024-02-272.组合数学2024-02-273.概率和期望2024-02-274.树链剖分2024-02-275.矩阵乘法与矩阵快速幂2024-02-276.最短路2024-02-277.卡特兰数、Prüfer 序列、BSGS2024-02-278.分块和莫队2024-02-279.AC 自动机2024-02-2710.平衡树2024-02-2711.基础字符串算法2024-02-27

12.基础数论2024-02-27

13.Miller-Rabin 与 Pollard-Rho2024-08-2314.广义后缀自动机2024-06-2515.后缀自动机 SAM2024-06-2216.回文自动机 PAM2024-06-1817.Manacher2024-06-1618.后缀数组2024-06-0819.01 分数规划2024-06-0220.网络流2024-05-0521.整体二分2024-05-0522.cdq 分治2024-05-0423.点分治2024-04-2124.虚树2024-04-1425.扫描线2024-04-1126.笛卡尔树2024-04-0627.基环树2024-04-0228.树哈希2024-03-0929.莫比乌斯反演2024-11-2830.二分图2024-11-0731.朱刘算法2024-10-2932.最大团2024-10-2933.杂项2024-08-2434.杜教筛2024-12-0135.拉格朗日插值2024-12-1036.线段树综合2024-12-1737.可持久化数据结构2024-12-2438.K-D Tree2024-12-2539.Burnside 引理与 Polya 定理2024-12-2740.线性基2024-12-3041.替罪羊树01-0942.LCT01-1843.插头 dp01-2044.原根01-2045.多项式乘法01-2246.斯特林数01-2347.二项式反演与斯特林反演01-2348.Min-Max 容斥01-2449.辛普森积分法01-2550.Min_25 筛02-0351.凸包02-1652.2-SAT03-03

收起

1 同余

1.1 定义

若 $a,b$ 为两个整数，且 $a-b$ 能被自然数 $m$ 整除，就说 $a$ 和 $b$ 关于模 $m$ 同余，记作 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

1.2 性质

同余有以下性质：

1. 自反性： $a\equiv a(\mathrm{mod}m)$。
2. 对称性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $b\equiv a(\mathrm{mod}m)$。
3. 传递性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，$b\equiv c(\mathrm{mod}m)$，则 $a\equiv c(\mathrm{mod}m)$。
4. 同加性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $a+c\equiv b+c(\mathrm{mod}m)$。
5. 同乘性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $ac\equiv bc(\mathrm{mod}m)$
6. 同幂性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $a^c\equiv b^c(\mathrm{mod}m)$

注意同余没有同除性，但是有消去律。

2 素数

2.1 素数的定义

一个大于 $1$ 的自然数，除了 $1$ 和他自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数。

2.2 有关素数的定理

2.2.1 算数基本定理

任何一个大于 $1$ 得正整数都能被唯一分解为有限个素数的乘积。即：

$N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m}$

其中，$c_i$ 均为正整数，$p_i$ 均为素数。

2.2.2 $N$ 与其因子的大小关系

$N$ 中至多只有一个大于 $\sqrt{N}$ 的因子。

2.2.3 分解质因数

采用试除法，从 $2$ 到 $\sqrt{n}$ 枚举。最坏时间复杂度 $O(\sqrt{n})$

2.3 素数判定

仍然考虑试除法，复杂度 $O(\sqrt{n})$。

2.4 筛素数

2.4.1 埃氏筛

对于求出某个范围内的所有素数，我们从 $2$ 开始，将 $2$ 的倍数去掉；然后是 $3$， 将 $3$ 的倍数去掉；……以此类推。

这样做的时间复杂度为 $O(n\log \log n)$，原因在于一个合数会被多次筛去，浪费了时间。

2.4.2 线性筛（欧拉筛）

为了解决埃氏筛的弊端，每个数现在只会被它的最小质因子筛掉。

流程如下：

1. 从小到大枚举每个数

2. 如果当前数没有被筛掉，则必定是素数，记录。

3. 枚举已记录的素数

   1). 如果合数没有越界，划掉合数

   2). 如果 $imodp=0$，表明 $i$ 有了一个最小质因子 $p$。根据欧拉筛的定义，到此退出即可。

代码：

int prim[Maxn], tot;
bool vis[Maxn];

void prime() {
	for(int i = 2; i <= Maxn; i++) {
		if(!vis[i]) prim[++tot] = i;
		for(int j = 1; i * prim[j] <= Maxn; j++) {
			vis[i * prim[j]] = 1;
			if(i % prim[j] == 0) break; 
		}
	}
}

2.5 欧拉函数

2.5.1 定义

• 对于正整数 $n$，他的欧拉函数 $\phi (n)$ 指的是小于等于 $n$ 的数中与 $n$ 互质的数的个数。

• 通项公式为：

$$\phi (n)=n\times \prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$$

​ 其中，$p_i$ 为 $n$ 的所有质因数。

2.5.2 性质

1. $\phi (1)=1$
2. 若 $p$ 为素数，则 $\phi (p)=p-1$
3. 若 $p$ 为素数，则 $\phi (p^k)=(p-1)\times p^{k-1}$
4. 欧拉函数是积性函数。

2.5.3 求解欧拉函数

2.5.3.1 试除法

如果只要求一个数的欧拉函数，直接根据定义试除法即可。

int get_phi(int n) {
	int ans = n;
	int m = sqrt(n);
	for(int i = 2; i <= m; i++) {
		if(n % i == 0) {
			ans = ans * (i - 1) / i;
		}
		while(n % i == 0) n /= i;
	}
	if(n > 1) ans = ans * (n - 1) / n;
	return ans;
}

2.5.3.2 筛法求欧拉函数

上面算法的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，如果要求 $1$ 到 $n$ 所有数的欧拉函数，总复杂度是 $O(n\sqrt{n})$，不够优。

我们考虑在筛法的过程中求出欧拉函数。

设 $ph{i}_i$ 表示 $\phi (i)$。

若当前 $i$ 为素数，则 $ph{i}_i=i-1$。

若 $i$ 不为素数：

设 $m$ 的最小质因子为 $p_j$，则 $m$ 应该被 $i\times p_j$ 筛去。

1). 若 $i$ 能被 $p_j$ 整除，则 $i$ 包含了 $m$ 所有的质因子。

​ 则 $ph{i}_m=m\times \prod _{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}=p_j\times i\times \prod _{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}=p_j\times ph{i}_i$。

2). 若 $i$ 不被 $p_j$ 整除，则 $i$ 与 $p_j$ 互质。

​ 则 $ph{i}_m=ph{i}_{p_j\times i}=ph{i}_{p_j}\times ph{i}_i=(p_j-1)\times ph{i}_i$。

代码：

bool vis[Maxn];
int prim[Maxn], phi[Maxn], cnt;

void get_phi() {
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= Maxn; i++) {
		if(!vis[i]) {
			prim[++cnt] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for(int j = 1; i * prim[j] <= Maxn; j++) {
			vis[i * prim[j]] = 1;
			phi[i * prim[j]] = (prim[j] - 1) * phi[i];
			if(i % prim[j] == 0) {
				phi[i * prim[j]] = prim[j] * phi[i];
				break;
			}
		}
	}
}

2.6 求约数个数和约数和

2.6.1 约数个数

2.6.1.1 公式法

根据算数基本定理，设：

$n=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m}$

则 $n$ 的约数个数 $d(n)=(c_1+1)(c_2+1)\cdots (c_m+1)$。

由乘法原理易证。

2.6.1.2 筛法求约数个数

设 $d_i$ 为 $i$ 的约数个数，$nu{m}_i$ 为 $i$ 的最小质因数个数。

若 $i$ 为素数，则 $d_i=2,nu{m}_i=1$。

若 $i$ 为合数：

设 $m$ 的最小质因子为 $p_j$，则 $m$ 应该被 $i\times p_j$ 筛去。

1). 当 $i$ 被 $p_j$ 整除时

​ 设 $i=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m}$，

​ 则 $d_m=d_{i\times p_j}=(1+c_1+1)(1+c_2)\cdots (1+c_m)$。

​ 即 $d_m=d_i÷(nu{m}_i+1)\times (nu{m}_i+2)$

​ 同时，$nu{m}_m=nu{m}_i+1$。

2). 当 $i$ 不被 $p_j$ 整除时

​ 设 $i=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m}$，

​ 则 $d_m=d_{p_j\times i}=(1+c_1)(1+c_2)\cdots (1+c_m)(1+1)=2\cdot d_i$。

​ 同时 $nu{m}_m=1$。

代码跟筛法求欧拉函数差不多，全部带入公式计算即可。

2.6.2 约数和

2.6.2.1 公式法

根据算数基本定理，设：

$n=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m}$

则 $n$ 的约数个数为 $(p_1^0+p_1^1+p_1^2+\cdots p_1^{r_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2+\cdots p_2^{r_2})\cdots (p_m^0+p_m^1+p_m^2+\cdots p_m^{r_m})$。

2.6.2.2 筛法求约数之和

设 $d_i$ 表示 $i$ 的约数之和，$nu{m}_i$ 表示是最小值因子所在的项，即 $(p_1^0+p_1^1+p_1^2+\cdots p_1^{r_1})$。

若 $i$ 为素数，则 $d_i=nu{m}_i=i+1$。

若 $i$ 为合数：

设 $m$ 的最小质因子为 $p_j$，则 $m$ 应该被 $i\times p_j$ 筛去。

1). 当 $i$ 被 $p_j$ 整除时

​ 设 $i=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m}$，

​ 则 $d_m=d_{i\times p_j}=(p_1^0+p_1^1+p_1^2+\cdots p_1^{r_1+1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2+\cdots p_2^{r_2})\cdots (p_m^0+p_m^1+p_m^2+\cdots p_m^{r_m})$。

​ 即 $d_m=d_i÷nu{m}_i\times (nu{m}_i+p_j^{r_j+1})=d_i÷nu{m}_i\times (nu{m}_i\times p_j+1)$

​ 同时，$nu{m}_m=nu{m}_i\times p_j+1$。

2). 当 $i$ 不被 $p_j$ 整除时

​ 设 $i=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m}$，

​ 则 $d_m=d_{p_j\times i}=(p_1^0+p_1^1+p_1^2+\cdots p_1^{r_1+1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2+\cdots p_2^{r_2})\cdots (p_m^0+p_m^1+p_m^2+\cdots p_m^{r_m})(p_j^0+p_j^1)=d_i(1+p_j)$。

​ 同时 $nu{m}_m=p_j+1$。

代码与筛法求约数个数一样，就不放了。

2.7 欧拉定理与费马小定理

2.7.1 欧拉定理

若 $gcd(a,m)=1$，则：

$$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

特别的，当 $m$ 为质数时，根据欧拉函数的定义代入，即可得到费马小定理。

2.7.2 费马小定理

若 $m$ 为素数，则：

$$a^{m-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

2.7.3 扩展欧拉定理

$$a^b\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{bmod\phi (p)},& gcd(a,p)=1\\ a^b,& gcd(a,p)\ne 1,b<\phi (p)(\mathrm{mod}p)\\ a^{bmod\phi (p)+\phi (p)},& gcd(a,p)\ne 1,b\ge \phi (p)\end{array}$$

对于 $b$ 较大的情况，可以用扩展欧拉定理将 $b$ 降下去，然后进行快速幂。

2.7.3.1 秦九昭算法

对于多项式 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}\cdots +a_{1}x+a_0$，一般人工计算需要进行 $\frac{n(n+1)}{2}$ 次乘法，$n$ 次加法。

对于 $f(x)$ 进行变形：

$\begin{array}{rl}f(x)& =a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}\cdots +a_{1}x+a_0\\ & =(a_n{x}^{n-1}+a_{n-1}{x}^{n-2}+a_{n-2}{x}^{n-3}\cdots +a_1)x+a_0\\ & =\cdots \\ & =(\dots ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x\cdots +a_1)x\end{array}$

这样就只需要做 $n$ 次乘法，$n$ 次加法即可

扩展欧拉定理模板：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int Maxn = 2e5 + 5;

int a, p, b;
string s;

int get_phi(int k) {
	int ans = k, m = sqrt(k);
	for(int i = 2; i <= m; i++) {
		if(k % i == 0) {
			ans = ans * (i - 1) / i;
		}
		while(k % i == 0) k /= i;
	}
	if(k > 1) ans = ans * (k - 1) / k;
	return ans;
}

int down_pow(int phi) {
	int res = 0;
	bool flag;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		res = res * 10 + s[i] - 48;
		if(res >= phi) {
			res %= phi;
			flag = 1;
		}
	}
	if(flag) res += phi;
	return res;
}

int qpow(int a, int b, int p) {
	int res = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) {
			res *= a;
			res %= p;
		}
		a *= a;
		a %= p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin >> a >> p >> s;
	int _phi = get_phi(p);
	b = down_pow(_phi);
	cout << qpow(a, b, p);
	return 0;
}

其中函数 down_pow 部分就利用到了秦九昭算法来对 $b$ 降幂。

3 最大公约数

3.1 欧几里得算法

欧几里得算法是常用的求 $gcd$ 的算法之一。

他运用了一个性质：$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

代码：

void gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

3.2 裴蜀定理

定理说明，设 $a,b$ 是不全为 $0$ 的整数，则存在 $x,y$，使得

$ax+by=gcd(a,b)$。

3.2.1 裴蜀定理的简单推广

设 $a_1,a_2,\cdots a_n$ 是不全为 $0$ 的整数，则存在 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，使得：

$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i=gcd(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$。

3.3 扩展欧几里得算法（扩欧）

扩欧算法常用于求方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 的整数解（特解）。

推导：

$a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$

$b{x}_2+(b\mathrm{\%}a)y_2=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$

$\because gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$

$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(b\mathrm{\%}a)y_2$

$\because a\mathrm{\%}b=a-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor \times b$

$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor \times b)y_2=a{y}_2+b(x_2-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor y_2)$

因此，我们可以层层向下递归求解，然后回带到上一层，

代码：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int ret = exgcd(b, a % b, x, y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return ret;
}

3.3.1 扩欧后构造通解

通解公式为：

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}k\\ y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}k\end{array}$$

3.3.2 扩欧求解线性同余方程

问题：求方程 $ax\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 的一个整数解。

将同余方程转化为不定方程：

由 $ax\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 得 $ax=p(-y)+b$，即 $ax+py=b$。

由裴蜀定理知，当 $b\mid gcd(a,p)$ 时有解。

接下来由扩欧求出方程 $ax+py=gcd(a,p)$ 的特解，最后把得到的 $x$ 乘上 $\frac{b}{gcd(a,p)}$ 就是原方程特解。

3.3.2.1 同余方程的消去律

虽然同余没有同除性，但同余方程有消去律。

若 $ax\equiv bx(\mathrm{mod}p)$，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}{\displaystyle \frac{p}{gcd(x,p)}})$。

4 逆元

4.1 定义与用途

若 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，称 $x$ 为 $a$ 在模 $p$ 意义下的乘法逆元，记作 $a^{-1}$。

仅当 $gcd(a,p)=1$ 时存在乘法逆元。

上面曾经讲到，同余不具有同除性，这是不能忍受的。于是我们就可以用逆元来解决问题。

根据定义推到，得出的结论是：$\frac{a}{b}modp=a\times (b^{-1})modp$，于是就转化为了乘法问题。

4.2 求乘法逆元

4.2.1 费马小定理

条件：当 $p$ 为素数时，可以用费马小定理求解。

根据费马小定理 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，可得 $a\times a^{p-2}\equiv (\mathrm{mod}p)$。

所以此时的乘法逆元为 $a^{p-2}$，用快速幂求解即可。

4.2.2 线性求逆元

求 $1$ 到 $p-1$ 中每个数关于模 $p$ 的逆元（$p$ 为素数）。

推导：

首先，$1^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

接下来，设 $p=ki+r$，其中 $1<i<p,r<i$。

在模 $p$ 意义下，得到 $ki+r\equiv 0(\mathrm{mod}p)$。

两边同乘 $i^{-1}\times r^{-1}$，则：

$k\times i\times i^{-1}\times r^{-1}+r\times i^{-1}\times r^{-1}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

$k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

$i^{-1}\equiv -k\times r^{-1}(\mathrm{mod}p)$

$i^{-1}\equiv -\lfloor {\displaystyle \frac{p}{i}}\rfloor \times r^{-1}(\mathrm{mod}p)$

$i^{-1}\equiv -\lfloor {\displaystyle \frac{p}{i}}\rfloor \times (pmodi{)}^{-1}(\mathrm{mod}p)$

设 $i^{-1}$ 为 $in{v}_i$，则：

$in{v}_i=(\frac{p}{i}\times in{v}_{pmodi})modp$。
设 $i^{-1}$ 为 $in{v}_i$，则：

$in{v}_i=(\frac{p}{i}\times in{v}_{pmodi})modp$。

若要求正整数，则递推公式为 ：

$in{v}_i=((p-\frac{p}{i})\times in{v}_{pmodi})modp$。

代码：

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
	inv[i] = ((p - p / i) * inv[p % i]) % p;
}

4.2.3 欧拉定理求逆元

回顾欧拉定理：当 $gcd(a,n)=1$ 时，$a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。所以此时 $a^{\phi (p)-1}$ 就是 $a$ 关于 $n$ 的逆元。

4.2.4 扩欧求逆元

看 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$，理应有一种熟悉的感觉。他就是一个同余方程，所以可以扩欧。要求 $gcd(a,b)=1$。