最短路

合集 - 学习笔记(52)

1.随机化算法2024-02-272.组合数学2024-02-273.概率和期望2024-02-274.树链剖分2024-02-275.矩阵乘法与矩阵快速幂2024-02-27

6.最短路2024-02-27

7.卡特兰数、Prüfer 序列、BSGS2024-02-278.分块和莫队2024-02-279.AC 自动机2024-02-2710.平衡树2024-02-2711.基础字符串算法2024-02-2712.基础数论2024-02-2713.Miller-Rabin 与 Pollard-Rho2024-08-2314.广义后缀自动机2024-06-2515.后缀自动机 SAM2024-06-2216.回文自动机 PAM2024-06-1817.Manacher2024-06-1618.后缀数组2024-06-0819.01 分数规划2024-06-0220.网络流2024-05-0521.整体二分2024-05-0522.cdq 分治2024-05-0423.点分治2024-04-2124.虚树2024-04-1425.扫描线2024-04-1126.笛卡尔树2024-04-0627.基环树2024-04-0228.树哈希2024-03-0929.莫比乌斯反演2024-11-2830.二分图2024-11-0731.朱刘算法2024-10-2932.最大团2024-10-2933.杂项2024-08-2434.杜教筛2024-12-0135.拉格朗日插值2024-12-1036.线段树综合2024-12-1737.可持久化数据结构2024-12-2438.K-D Tree2024-12-2539.Burnside 引理与 Polya 定理2024-12-2740.线性基2024-12-3041.替罪羊树01-0942.LCT01-1843.插头 dp01-2044.原根01-2045.多项式乘法01-2246.斯特林数01-2347.二项式反演与斯特林反演01-2348.Min-Max 容斥01-2449.辛普森积分法01-2550.Min_25 筛02-0351.凸包02-1652.2-SAT03-03

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1 算法描述

在一图中，从一点出发，沿图的边走到另一点所经过的路径中，各边上权值和最小的路径，叫做最短路径。最短路算法就是求解最短路径问题的算法。

其中，单源最短路径指从图中某一点到另外所有点的最短路径；多源最短路径指从图中每一点到另外所有点的最短路径。

2 四大最短路算法

2.1 Floyd 算法

Floyd 是一种多源最短路算法，其思想是动态规划。

设 $dp[i][j][k]$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的只以 $1-k$ 中的节点为中间节点的最短路径的长度。

若最短路径经过点 $k$，则 $dp[i][j][k]=dp[i][k][k-1]+dp[k][j][k-1]$；

若最短路径不经过点 $k$，则 $dp[i][j][k]=dp[i][j][k-1]$。

综上，$dp[i][j][k]=min\{dp[i][k][k-1]+dp[k][j][k-1],dp[i][j][k-1]\}$。

实际中，常将 dp 数组降至二维使用

Floyd 的时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为$O(n^2)$,容易超时。

核心代码如下(使用邻接矩阵存图)：

int a[Maxn][Maxn];
for(int k = 1; k <= n; k++)//Floyd
{
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(int j = 1; j <= n; j++)
		{
			a[i][j] = min(a[i][j], a[i][k] + a[k][j]);
		}
	}
}

2.2 dijkstra 算法

dijkstra 是一种单源最短路算法，适用于边权值为正的情况。

它的思想是从源点 $S$ 开始，每次新扩展一个距离最近的点，再以这个点为中间点，更新起点到其它点的距离。

算法步骤如下：

设 $dis[i]$ 表示 源点 $s$ 到点 $i$ 的最短距离。

第一步，将 $dis[s]$ 置为 $0$，其余点 $dis$ 值为 $\mathrm{\infty }$。

第二步，选一个 $dis$ 值最小的点，并标记已知点，用它来更新与之相邻的其它点的dis值。

重复第二步，直到所有点都被标记。

dijkstra 的正确性说明如下：

每次选取 $dis$ 值最小的点标记为已知，是因为其他点的 $dis$ 值更大，而又没有负边权，所以不可能对选取的这个点的 $dis$ 值更新。也就是说选取的这个点的 $dis$ 值不可能被修改，就是最短的了

朴素 dijkstra 的时间复杂度为 $O(N^2)$，是较为快速且较为稳定的最短路算法，缺点是不能处理负边权。

观察上述算法步骤，发现第二步中寻找最小值的部分可以用堆来优化，可以将时间复杂度降至 $O((m+n)\log n)$.

堆优化算法如下（使用链式前向星存图）：

int s, dis[Maxn], vis[Maxn];
priority_queue <pair<int, int> > q;//堆

void dijkstra()
{
	for(int i = 1; i <= n; i++)//初始化
	{
		dis[i] = 2e9;
	}
	dis[s] = 0;
	q.push(make_pair(0, s));
	while(!q.empty())//dijkstra
	{
		int x = q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[x]) continue;
		vis[x] = 1;
		for(int i = head[x]; i; i = edge[i].nxt)
		{
			if(dis[edge[i].to] > dis[x] + edge[i].w)
			{
				dis[edge[i].to] = dis[x] + edge[i].w;
				q.push(make_pair(-dis[edge[i].to], edge[i].to));
			}
		}
	}
}

3.3 Bellman - Ford 及 SPFA 算法

Bellman - Ford 是一种单源最短路算法，它可以适用于带负权边的图。SPFA 则是 Bellman - Ford 的队列优化算法。

Bellman - Ford 的算法流程如下：

以任意顺序考虑图的边，沿着各条边进行松弛操作。即对于边 $u$ 到 $v$,如果 $d[v]>d[u]+w[u][v]$, 则 $d[v]=d[u]+w[u][v]$。重复操作 $|V|-1$ 次

(其中 $|V|$ 表示图中顶点的个数，$d[i]$ 表示 源点 $s$ 到点 $i$ 的最短距离，$w[u][v]$ 表示点 $u$ 到点 $v$ 的距离)。

最后再对各条边进行松弛操作，如果对于边边 $u$ 到 $v$，还存在 $d[v]>d[u]+w[u][v]$，则说明存在负权环。

Bellman - Ford 的正确性说明如下：

图的任意一条最短路径既不能包含负权回路（无解），也不会包含正权回路（不是最优解），因此它最多包含 $|V|-1$ 条边。

从源点 $s$ 可到达的所有顶点如果存在最短路径，则这些最短路径会构成一个以 $s$ 为根的最短路径树。Bellman-ford 算法实际上是逐层生成这棵树的过程。

第一轮松弛，就生成了距离 $s$ 层次至多为 $1$ 的树枝；每一轮松弛都是利用上一轮松弛之后的结果，每一轮松弛，都会有一层节点达到从 $s$ 到它们的最短距离，并且不会受到后续操作的影响。

$|V|-1$ 轮松弛后，就得到了 $s$ 到其余顶点的最短路（除非图中存在负权环），因此，判定是否存在负权环，我们只需要再松弛一遍就可以知道了。

Bellman - Ford 时间复杂度为 $O(VE)$，优点是可以适用于带负权的图。

核心代码如下（使用邻接矩阵存图）：

int dis[Maxn];
bool bellman_ford(int s)
{
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		dis[i] = INF;
	dis[s] = 0;
	for(int i = 1; i <= n - 1; i++)//松弛
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			if(dis[edge[j].u] + edge[j].w < dis[edge[j].v]])
				dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].w;
	for(int j = 1; j <= m; j++)//判负权环
			if(dis[edge[j].u] + edge[j].w < dis[edge[j].v]])
				return 0;
	return 1;		
}

Bellman - ford 算法效率低在无效松弛操作太多，而 SPFA 使用队列优化了 Bellman - Ford 的效率。

SPFA 算法流程如下：

设一队列 $q$ ，将源点 $s$ 入队。

从队列中取出队首元素 $u$ ，标记节点 $u$ 出队，对 $u$ 相连的所有节点 $v$ 进行松弛操作。如果松弛成功，检查节点 $v$ 进队次数，如果超过 $|V|$，则说明出现负权环，算法结束；否则，修改 $d[v]$，检查节点 $v$ 是否在队列中，如果不在，节点$v$进队。

重复上述过程直到队列为空。

SPFA时间复杂度为 $O(kE)$，但是较为不稳定，最坏情况下会被卡到 $O(VE)$。

核心代码如下：

int dis[Maxn], vis[Maxn], t[Maxn];
queue <int> q;
bool SPFA(int s)
{
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		dis[i] = INF;
	dis[s] = 0;
	q.push(s);
	vis[s] = 1;
	while(!q.empty())
	{
		int now = q.front();
		q.pop();
		if(++t[now] == n)
		{
			return 0;
		} 
		vis[now] = 0;
		for(int i = 0; i < E[now].size(); i++)
		{
			int v = E[now][i].first;
			if(dis[v] > dis[now] + E[now][i].second)
			{
				dis[v] = dis[now] + E[now][i].second;
				if(vis[v] == 1) continue;
				vis[v] = 1;
				q.push(v);
			}
		}
	} 
	return 1;		
}

3 总结

四种算法各有优缺点，需要根据题目需求来决定使用哪种。

	Floyd	dijkstra	Bellman - Ford	SPFA
源点	多源	单源	单源	单源
空间复杂度	$O(n^2)$	$O(m)$	$O(m)$	$O(m)$
时间复杂度	$O(n^3)$	$O((m+n)\log n)$	$O(mn)$	$O(km)$，易被卡到 $O(nm)$
能否有负权边	可以	不可以	可以	可以
能否判断负权回路	不可以	不可以	可以	可以