概率和期望

合集 - 学习笔记(52)

1.随机化算法2024-02-272.组合数学2024-02-27

3.概率和期望2024-02-27

4.树链剖分2024-02-275.矩阵乘法与矩阵快速幂2024-02-276.最短路2024-02-277.卡特兰数、Prüfer 序列、BSGS2024-02-278.分块和莫队2024-02-279.AC 自动机2024-02-2710.平衡树2024-02-2711.基础字符串算法2024-02-2712.基础数论2024-02-2713.Miller-Rabin 与 Pollard-Rho2024-08-2314.广义后缀自动机2024-06-2515.后缀自动机 SAM2024-06-2216.回文自动机 PAM2024-06-1817.Manacher2024-06-1618.后缀数组2024-06-0819.01 分数规划2024-06-0220.网络流2024-05-0521.整体二分2024-05-0522.cdq 分治2024-05-0423.点分治2024-04-2124.虚树2024-04-1425.扫描线2024-04-1126.笛卡尔树2024-04-0627.基环树2024-04-0228.树哈希2024-03-0929.莫比乌斯反演2024-11-2830.二分图2024-11-0731.朱刘算法2024-10-2932.最大团2024-10-2933.杂项2024-08-2434.杜教筛2024-12-0135.拉格朗日插值2024-12-1036.线段树综合2024-12-1737.可持久化数据结构2024-12-2438.K-D Tree2024-12-2539.Burnside 引理与 Polya 定理2024-12-2740.线性基2024-12-3041.替罪羊树01-0942.LCT01-1843.插头 dp01-2044.原根01-2045.多项式乘法01-2246.斯特林数01-2347.二项式反演与斯特林反演01-2348.Min-Max 容斥01-2449.辛普森积分法01-2550.Min_25 筛02-0351.凸包02-1652.2-SAT03-03

收起

1 事件与概率

1.1 相关概念

• 样本空间：某次随机试验的所有可能结果的集合，一般记为 $S$。
• 样本点：试验的每个结果，即 $S$ 中的元素。
• 事件：$S$ 的子集。

1.1.1 事件

1. 基本事件：由一个样本点组成的只有一个元素的集合。
2. 必然事件：在某种条件下必然会发生的事件。
3. 不可能事件：在某种条件下一定不会发生的事件
4. 随机事件：在某种条件下不一定发生的事件。
   必然事件和不可能事件统称确定事件，确定事件与随机事件统称事件。

1.1.2 频数、频率与概率

1. 频数：在相同条件下进行 $n$ 次试验，观察某一事件 $A$ 是否发生，称 $n$ 次试验中 $A$ 的发生次数为 $A$ 的频数，记作 $n_A$。
2. 频率：在频数的基础上，称 $A$ 出现的比例 ${\displaystyle \frac{n_A}{n}}$ 为事件 $A$ 的频率。
3. 概率：对于一个事件，其频率 ${\displaystyle \frac{n_A}{n}}$ 随着试验次数增加而不断趋定于某个值，称之为 $A$ 发生的概率。记作 $P(A)$。

1.2 事件的关系与运算

如下表所示：

名称	定义	符号
包含关系	若事件 $A$ 发生时，事件 $B$ 一定发生，则称事件 $B$ 包含事件 $A$	$B\supseteq A$
相等关系	若 $A\supseteq B\wedge B\supseteq A$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 相等	$A=B$
并事件（和事件）	若某事件发生 $\iff$ 事件 $A$ $\vee$ 事件 $B$ 发生，则称该事件为 $A,B$ 的和事件	$A+B$ 或 $A\bigcup B$
交事件（积事件）	若某事件发生 $\iff$ 事件 $A$ $\wedge$ 事件 $B$ 发生，则称该事件为 $A,B$ 的积事件	$A\times B$ 或 $A\bigcap B$
互斥事件	若 $A\bigcap B$ 为不可能事件，则称 $A,B$ 互斥	/
对立事件	若 $A\bigcap B$ 为不可能事件，$A\bigcup B$ 为必然事件，则称 $A,B$ 为对立事件	/

2 概率公式

2.1 条件概率

我们记 $P(B|A)$ 表示在事件 $A$ 发生的前提下，事件 $B$ 发生的概率。

请注意：这里是假设 $A$ 发生的前提下，而并非 $A$ 实际发生。

那么如何计算条件概率呢？当 $P(A)>0$ 时，我们有：

$$P(B|A)={\displaystyle \frac{P(AB)}{P(A)}}$$

同时我们有会有推论：当且仅当 $A,B$ 事件独立时，$P(B|A)=P(B)$ 。

证明如下：

首先证 $\Rightarrow$ 。

当事件 $A,B$ 独立时，有 $P(AB)=P(A)P(B)$。

因此这时有 $P(B|A)={\displaystyle \frac{P(AB)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{P(A)P(B)}{P(A)}}=P(B)$。

接下来证 $\Leftarrow$。

若 $P(B|A)=P(B)$，则 ${\displaystyle \frac{P(AB)}{P(A)}}=P(B)$，即 $P(AB)=P(A)P(B)$。

因此 $A,B$ 事件独立。

证毕。

再次由条件概率公式，将分母移到左边可得：

$$P(AB)=P(A)P(B|A)$$

这被称之为概率的乘法公式。

2.2 全概率公式

对于若干事件 $A_1,A_2\cdots ,A_n$ 两两互斥，同时满足 $A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots \bigcup A_n=\mathrm{\Omega }$，且 $P(A_i)>0$ ，则对于事件 $B\subseteq \mathrm{\Omega }$，有：

$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)p(B|A_i)$$

这被称作全概率公式，是概率论中最基础的公式之一。

全概率公式用于：导致一件事情发生的原因有很多（原因互斥），求其发生的概率。

2.3 贝叶斯公式

对于若干事件 $A_1,A_2\cdots ,A_n$ 两两互斥，同时满足 $A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots \bigcup A_n=\mathrm{\Omega }$，且 $P(A_i)>0$ ，则对于事件 $B\subseteq \mathrm{\Omega }$，有

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_{i}B)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum _{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k)}$$

贝叶斯公式可以用于：导致一件事情发生的原因有很多（原因互斥），求这件事情已经发生后，是某个原因导致的概率。

3 期望

3.1 定义

事件 $A$ 有多种结果，记其结果的大小为 $x$，则 $x$ 的期望值表示事件 $A$ 的平均大小，记作 $E(x)$。

$E(x)=$ 每种结果的大小与其概率的乘积的和。

3.2 性质

期望具有线性性质。

• 对于随机变量 $x,y$ 与常量 $a,b$ ，有 $E(ax+by)=aE(x)+bE(y)$。
• 当随机变量 $x,y$ 相互独立时，有 $E(xy)=E(x)E(y)$

在一般情况下，求解概率时正推，求解期望时逆推。