组合水题 19 道

组合水题 $ 19 $ 道

$ 1 $

求用 $ 0, 1, 2, 3, 4, 5 $ 组成没有重复数字奇数的个数

考虑如果是奇数，那么最后一位一定是 $ 1, 3, 5 $

考虑一下前导 $ 0 $

答案是 $ 288 $

$ 2 $

$ A, B, C, D, E $ 排成一排，$ B $ 必须在 $ A $ 左边，求方案数

把 $ BA $ 看成一个人，答案是 $ A_4^4 $

$ 3 $

$ 10 $ 个相同小球放在 $ 7 $ 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，求方案数

隔板法，实际上转化成在 $ 10 $ 个球中插隔板，有 $ 9 $ 个空位，有 $ 6 $ 个隔板，所以答案是 $ C_9^6 $，也就是插隔板的方案数

$ 4 $

$ 6 $ 个不同的神仙平均分成三组，求方案数

首先考虑正常求排列，枚举每一个组的方案，就是 $ C_6^2 \times C_4^2 $

然后有重复，所以答案是 $ \dfrac{C_6^2 \times C_4^2 }{A_3^3} $

$ 5 $

在上一问里改成平均分到三个不同大厦里

这样的话区分了组别，就不存在驱虫的情况了

答案是 $ C_6^2 \times C_4^2 $

$ 6 $

$ 6 $ 个不同的小球放在 $ 2 $ 个不同的盒子里，每个盒子最多放 $ 4 $ 个，求方案数

首先放在盒子里的方案有 $ (2, 4), (3, 3), (4, 2) $

答案是 $ C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 $

$ 7 $

$ 6 $ 级台阶，每次能跨 $ 1 $ 级或 $ 2 $ 级，求方案数

显然，答案是 $ f_6 = 13 $

$ 8 $

从 $ 1, 2, 3, \dots , 9 $ 中选 $ 4 $ 个不同的数，和为偶数，求方案数

枚举奇数的数量

1. $ 0 $ 个奇数，答案是 $ C_4^4 = 1 $

2. $ 2 $ 个奇数，答案是 $ C_4^2 \times C_5^2 $

3. $ 4 $ 个奇数，答案是 $ C_5^4 $

所以答案是 $ C_5^4 + C_5^2 \times C_4^2 + 1 $

$ 9 $

若三位数十位数最大，称其为伞数，从 $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $ 选 $ 3 $ 个，求伞数的数量

枚举十位数，然后找个位数即可

1. 十位数是 $ 3 $，方案数是 $ 2 $

2. 十位数是 $ 4 $，方案数是 $ A_3^2 $

3. 十位数是 $ 5 $，方案数是 $ A_4^2 $

4. 十位数是 $ 6 $，方案数是 $ A_5^2 $

所以答案是 $ A_5^2 + A_4^2 + A_3^2 + 2 $

还可以六个数字选出三个，个位和百位换一下，答案是 $ C_6^3 \times 2 $

$ 10 $

一个平面有 $ 8 $ 个点，若有 $ 4 $ 点共圆，另外 $ 4 $ 个点不共圆，求能确定几个圆

首先三点确定一个圆，然后方案数是 $ C_8^3 $

四点共圆中算重了，要减去

答案是 $ C_8^3 - C_4^3 + 1 $

$ 11 $

有 $ 3 $ 个红球，$ 2 $ 个白球，同种颜色球相同，分给 $ 4 $ 个小孩一人一个，求方案数

枚举白球的数量，如果是一个白球，答案是 $ 4 $，显然白球可能在所有人手里

如果是两个白球，答案是 $ C_4^2 $

答案是 $ C_4^2 + 4 $

$ 12 $

有 $ 16 $ 张不同的卡片，有 $ 4 $ 种颜色，每种颜色 $ 4 $ 张，任取 $ 3 $ 张，要求不能是同一种颜色，求方案数

容斥原理，首先总方案数是 $ C_{16}^3 $

然后三个颜色都相同的方案数是 $ C_4^3 \times 4 $

答案是 $ C_{16}^3 - C_4^3 \times 4 $

$ 13 $

用 $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $ 组成 $ 6 $ 位数，要求这个数是 $ 5 $ 的倍数，$ 1, 2 $ 不能和 $ 3 $ 相邻，求方案数

考虑容斥原理，首先 $ 5 $ 必须放在最后，这样总方案数是 $ A_5^5 $

然后删掉 $ 1, 3 $ 和 $ 2, 3 $ 相邻的方案，加上 $ 1, 3, 2 $ 相邻的方案

答案是 $ A_5^5 - A_4^4 \times 4 + A_3^3 \times 2 $

$ 14 $

从集合 $ {1, 2, \dots , n} $ 中选取 $ r $ 个不相邻的数，求方案数

考虑有 $ n - r $ 个元素，然后我们有 $ n - r + 1 $ 个空位，我们可以插入 $ r $ 个隔板，所以问题转化成了插入隔板的方案数

答案是 $ C_{n - r + 1}^r $

$ 15 $

从网格图 $ (0, 0) $ 走到 $ (n, m) $，求方案数

首先一共走 $ n + m $ 步，有 $ n $ 步往右走，答案是 $ C_{n + m}^n $

$ 16 $

三个学生选 $ 4 $ 门选修课，每门课只能有一名学生选，求方案数

显然，答案是 $ A_4^3 $

$ 17 $

$ 6 $ 个男的和 $ 4 $ 个女的，选至少一个女的共 $ 5 $ 人，求方案数

容斥一下，用总方案数减去没有女生的方案数

答案是 $ C_{10}^5 - C_6^5 $

$ 18 $

用 $ 0 ~ 9 $ 组成无重复三位偶数，求方案数

不考虑前导 $ 0 $，方案数是 $ 5 \times 9 \times 8 = 360 $

加上前导 $ 0 $，方案数是 $ 1 \times 8 \times 4 = 32 $

所以答案是 $ 360 - 32 = 328 $

$ 19 $

有 $ 5 $ 个人站成一排，第 $ 1 $ 个人要站在第 $ 2 $ 个人左边（可以不相邻），求方案数

不考虑限制。答案是 $ A_5^5 $

然后 $ 1 $ 在 $ 2 $ 左边的概率相等，所以答案是 $ \frac{A_5^5}{2} $