杨辉三角的秘密
杨辉三角的秘密
杨辉三角的构建
我们可以简单的注意到，每个数字都是他上面两边的数字之和，也就是说，在两肩的位置
然后我们就构造出了杨辉三角，我们看一张动图加深理解：
秘密一：隐藏的数列
首先我们把杨辉三角左对齐，得到：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
第一列都是 $ 1 $，第二列是从 $ 1 $ 开始的自然数，第三列的话看这里：
可以看到，第三列就是三角数
第四列是构成四面体所需要的点的数目，四面体就是由一堆三角形摞起来的：
在几何上，单纯形是某一维度空间中构造最简单的结构，$ 0- $ 单纯形就是点，$ 1- $ 单纯形就是一条线段，$ 2- $ 单纯形就是三角形，$ 3- $ 单纯形就是四面体，$ 4- $ 单纯形就是五胞体。
然后下面是所有的隐藏数列及其规律：
秘密二：$ 2 $ 的幂
如果我们把杨辉三角的第 $ i $ 行所有的数相加，然后我们就可以看出来，它们的和就是 $ 2^{i - 1} $
秘密三：$ 11 $ 的幂
这里我们会发现，如果把第 $ i $ 行的所有数拼起来，就可以得到 $ 11^{i - 1} $
我们考虑到两位数的情况，这里两位数的话我们考虑进位，就像这样：
秘密四：完全平方数
这里我们可以发现，第二列的数的平方是它右边和右下数的和
秘密五：斐波那契数列
这里我们把对角线的数全部加起来，就可以得到斐波那契数列，是不是非常神奇
秘密六：谢尔宾斯基三角
这里我们把杨辉三角里面所有的奇数用红色标出来，你发现了什么
没错，就是谢尔宾斯基三角
这是一个美妙的性质
秘密七：组合数
这里我们可以发现，杨辉三角形是和组合数有着密切联系的：
然后我们就可以使用肉眼观察到：$ C(n, m) -= C[n + 1][m + 1] $
这里 $ C[i][j] $ 表示杨辉三角第 $ i $ 行第 $ j $ 列
秘密八：二项式的展开
二项式指的是 $ (x + y)^k $ 的形式的式子
我们举例子即可
当 $ k = 2 $ 时，$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $
然后我们再看 $ k = 3 $ 的情况，$ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $
然后我们就找到了规律：
秘密九：二项式定理
这里我们可以根据以下证明推出公式
首先我们枚举每一个项，如果这个项长这样：$ x^n y^m $，那么一定有 $ n + m = k $
所以我们考虑这个项出现的次数就是 $ C(k, n) $，然后这个项就是 $ C(k, n)x^n y^m $
每个项都长这样，所以我们直接的出公式：
秘密十：二项式分布
二项式分布描述了具有两种可能结果的实验的概率分布。事实上，杨辉三角的每一行也能揭示了这样的清晰，最经典就是扔一枚硬币为例
如果考虑抛 $ 3 $ 次硬币，就会有 $ 8 $ 种可能发生的事件：
反反反 反反正 反正反 反正正
正反反 正反正 正正反 正正正
可以分为 $ 4 $ 类情况：
- $ 3 $ 次反面 —— 只有 $ 1 $ 次发生
- $ 2 $ 次正面和 1 次反面 —— 有 $ 3 $ 次发生
- $ 2 $ 次反面和 1 次正面 —— 有 $ 3 $ 次发生
- $ 3 $ 次正面 —— 只有 $ 1 $ 次发生
这里的 $ 1,3,3,1 $ 也就是杨辉三角的第 $ 4 $ 行
这里我们设抛硬币抛到正面的概率是 $ p $，那么公式如下：
这个和二项式定理的公式非常像，只不过这没有求和
