隔板法

我又捡起这个东西了

昨天考的不是很难的组合数和容斥 考场上弃掉了？？？挺难过的8 又被拎去教育了一顿

 

 

这玩意一看就是一个容斥 其实有点裸 当时抽象成了一个可重集合的选取问题 于是用容斥计算了所有方案数 后来发现这种模型 是错误的

那么先讲一种题解给出的思路 首先怎么抽象成为一个隔板法的模型呢

先考虑没有任何限制 现在给定了n个位置 向里面填1-k这k个数字 每个数对应的位置数量 >=0 有的位置可以是空的 那么抽象成$\sum_{i}x_i=n$ 那么此时全部加上+k 变成大于等于1的数字  

我们就求出来了方案数 即$\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+m-1}{n}$ 现在考虑存在若干组限制 考虑p固定的时候

那么 对于设$g[i]$表示有i对可以组成p的方案数 那么对于有t对加起来为p的方案数 由于容斥原理 $\sum_{i}(-1)^i*g_i$ 

考虑$g[i]$ 怎么求 $g[i]=\binom{t}{i}*\binom{n-2*i+k-1}{k-1}$ 这个 式子是什么意思呢 在t对里面强制选择i对 然后剩余了n-2*i个数字 那么这些位置 可以填k个数字 有的位置可以为0

那么 此时方案数用隔板法计算即可 这里不在赘述隔板法 jzyz题库题解里面写有qwq

不过这里有一个纯隔板法的口胡

首先我们考虑 把问题分离出来

1. i 和 i-x 不能同时出现 

2. 如果i是偶数 那么i/2 只能出现1次或者一次 

对于第二个限制 情况数很少 我们不放在计算之前钦定一下 i/2 出现奇数次 或者0次 那么如果不是偶数 我们可以直接算 

就是对于若干对限制来说 现在有一些数字可以填 一些不能填 假设现在限制是x对 有y个数字不受限制 然后又z个位置可以填

我不想写这个了 没有代码 感觉在胡扯