BZOj 3208 食物 生成函数+广义二项式定理

曾经搞过几天的生成函数，也没做几道题，后来放弃了，今天讲了生成函数和背包问题的结合，趁着脑子清醒整理一下；

题目描述：

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！ 
我们暂且不讨论他有多么NC，他又幻想了他应该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带N件物品的方案数。 
他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等 
当然，他又有一些稀奇古怪的限制： 
每种食物的限制如下： 
承德汉堡：偶数个 
可乐：0个或1个 
鸡腿：0个，1个或2个 
蜜桃多：奇数个 
鸡块：4的倍数个 
包子：0个，1个，2个或3个 
土豆片炒肉：不超过一个。 
面包：3的倍数个

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以‘个’为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是N就算一种方案。因此，对于给出的N,你需要计算出方案数，并对10007取模。

输入样例1 
1 
输出样例1 
1

输入样例2 
5 
输出样例2 
35 
数据范围 
对于40%的数据，1<=N<=100000; 
对于所有数据，1<=n<=10^500;

对于小数据范围的，我们显然可以用dp的背包问题处理，那么对于本题这么大的范围，我们该怎么处理呢，这就要用生成函数搞一下了；

我们讲每一个要求编号；

对于1.偶数个：生成函数是1+$x^2$+$x^4$+$x^6$+$x^8$+...=$\frac{1}{1-$x^2$}$

对于2：1+x；

对于3：1+x+$x^2$=$\frac{1+$x^3$}{1-x}$;

算了我搞不了博客园的公式，还是搞图片吧；

来自ppt，其实每一个式子都很好推导；

 

对于式子七等，我们可以采取先求多项式的逆元，再将其化简的方法会比较方便；

那么这个题目就是让我们求f（x）的第n-1项，为什么是n-1呢，因为分子上的x相当于一个位移的作用；

那么我们探讨一下（1-x）^-4的第[n]项系数怎么求；有两种思路；

第一种：广义二项式定理；

对于负数的情况，如下；

 

那么答案十分显然,我们将其展开，就是C（3，n+2）

 

第二种思路：对于这个母函数的第n项的系数，相当于不定方程x1+x2+x3+...+xn=4的非负整数解的个数，

 

这个问题可以用组合数学中的插板法解决，答案也为C（3，n+2);

 

注意：这里的n是已经减过1的n；