AC自动机 后缀数组 随笔
天天一头雾水，真是头大呢；
也祝自己生日快乐7.12，真是和海亮美好的回忆；
AC自动机：自动A题的机器；显然这样说是错的；
这个东西 我只想写一下自己的理解 然后一些总结；
首先 它是具有KMP性质的东西，但是又是有区别的；
KMP的Next数组是用来最长公共前后缀，而AC自动机的fail指针是用来搞相同后缀即可；
因为KMP只对一个模式串做匹配，而AC自动机要对多个模式串做匹配。
有可能 fail指针指向的结点对应着另一个模式串，两者前缀不同。
也就是说，AC自动机在对匹配串做逐位匹配时，同一位上可能匹配多个模式串。
因此 fail 指针会在字典树上的结点来回穿梭，而不像KMP在线性结构上跳转。
首先是将模式串插入trie树中，插入操作一样，注意打标记；
我们利用部分已经求出 fail 指针的结点推导出当前结点的 fail 指针。具体我们用BFS实现：
考虑字典树中当前的节点u，u的父节点是p，p通过字符c的边指向u。
假设深度小于u的所有节点的 fail指针都已求得。那么p的 fail指针显然也已求得。
我们跳转到p的 fail指针指向的结点 fail[p] ；
如果结点 fail[p]通过字母 c 连接到的子结点 w 存在：
则让u的fail指针指向这个结点 w （ fail[u]=w）。
相当于在 p 和 fail[p] 后面加一个字符 c ，就构成了 fail[u] 。
如果 fail[p]通过字母 c 连接到的子结点 w 不存在：
那么我们继续找到 fail[fail[p]] 指针指向的结点，重复上述判断过程，一直跳 fail 指针直到根节点。
如果真的没有，就令 fail[u]= 根节点。
然后建出AC自动机，搞出每个的fail指针，然后拿文本串在上面跑一下就行了；
模板一 ；
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0; register int f=1; register char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar(); x*=f; } const int N=5000010; int n,m,trie[N][26],fail[N],e[N],idx; char s[1000005]; inline void insert(char *s) { int p=0; for(int i=0;s[i];i++) { int ch=s[i]-'a'; if(!trie[p][ch]) trie[p][ch]=++idx; p=trie[p][ch]; } e[p]++; } inline void build() { queue<int> q; memset(fail,0,sizeof(fail)); for(int i=0;i<26;i++) if(trie[0][i]) q.push(trie[0][i]); while(q.size()) { int k=q.front(); q.pop(); for(int i=0;i<26;i++) { if(trie[k][i]) { fail[trie[k][i]]=trie[fail[k]][i]; q.push(trie[k][i]); } else trie[k][i]=trie[fail[k]][i]; } } } int query(char *t) { int p=0,res=0; for(int i=0;t[i];i++) { p=trie[p][t[i]-'a']; for(int j=p;j&&~e[j];j=fail[j])res+=e[j],e[j]=-1; } return res; } int main() { read(n); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%s",s); insert(s); } build(); scanf("%s",s); int ans=query(s); printf("%d\n",ans); }
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0; register int f=1; register char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar(); x*=f; } string mob[300010]; int e[300010],trie[300010][26],fail[300010],ans[300010],n,idx; inline void insert(string s,int v) { int p=0; for(int i=0;i<s.size();i++) { int ch=s[i]-'a'; if(!trie[p][ch]) trie[p][ch]=++idx; p=trie[p][ch]; } e[p]=v; } inline void build() { queue<int> q; // memset(fail,0,sizeof(fail)); for(int i=0;i<26;i++) if(trie[0][i]) q.push(trie[0][i]); while(q.size()) { int k=q.front(); q.pop(); for(int i=0;i<26;i++) { if(trie[k][i]) { fail[trie[k][i]]=trie[fail[k]][i]; q.push(trie[k][i]); } else trie[k][i]=trie[fail[k]][i]; } } } inline void query(string s) { int p=0; for(int i=0;i<s.size();i++){ p=trie[p][s[i]-'a']; for(int j=p;j;j=fail[j]) ans[e[j]]++; } } int main() { // freopen("a.in","r",stdin); // freopen("a.out","w",stdout); while(scanf("%d",&n),n) { idx=0; // clear(); memset(e,0,sizeof(e)); memset(ans,0,sizeof(ans)); memset(trie,0,sizeof(trie)); memset(fail,0,sizeof(fail)); for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>mob[i]; insert(mob[i],i); } build(); string t; cin>>t; query(t); int temp=0; for(int i=1;i<=n;i++)if(ans[i]>temp) temp=ans[i]; cout<<temp<<endl; for(int i=1;i<=n;i++)if(ans[i]==temp) cout<<mob[i]<<"\n"; } return 0; }
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=5000010; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0; register int f=1; register char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar(); x*=f; } int n,idx,lin[200010],tot; int trie[200010][26],fail[200010],e[200010],size[200010]; string s,t; int ans[200010]; struct gg { int x,y,next; }a[N<<1]; inline void insert(string s,int v) { int p=0; for(int i=0;i<s.size();i++) { int ch=s[i]-'a'; if(!trie[p][ch]) trie[p][ch]=++idx; p=trie[p][ch]; } e[v]=p; } inline void build() { queue<int> q; memset(fail,0,sizeof(fail)); for(int i=0;i<26;i++) if(trie[0][i]) q.push(trie[0][i]); while(q.size()) { int k=q.front(); q.pop(); for(int i=0;i<26;i++) { if(trie[k][i]) { fail[trie[k][i]]=trie[fail[k]][i]; q.push(trie[k][i]); } else trie[k][i]=trie[fail[k]][i]; } } } inline void add(int x,int y) { a[++tot].y=y; a[tot].next=lin[x]; lin[x]=tot; } inline void dfs(int x) { for(int i=lin[x];i;i=a[i].next) { int y=a[i].y; dfs(y); size[x]+=size[y]; } } int main() { // freopen("a.in","r",stdin); // freopen("a.out","w",stdout); read(n); for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>s; insert(s,i); } build(); cin>>t; int p=0; for(int i=0;i<t.size();i++) { p=trie[p][t[i]-'a']; size[p]++; } for(int i=1;i<=idx;i++) add(fail[i],i);//建个fail树 dfs(0); for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",size[e[i]]); return 0; }
来几道比较有意思的题目：
这个题目没有文本串，我们可以想象出一个符合条件的文本串，如果存在，那么这个文本串一定不能在病毒串组成的trie上匹配，那么他一定会沿着fail指针一直跳，
怎么才能一直跳，有环，对啊，并且这里容易想明白的是，我们一定不能跳到一个有结束标记的节点；
但是直接写的话，我们一定会失败，为什么，我们考虑一种情况，如果在跳fail指针的时候，我们顺着fail指针调到一个有结束节点的地方，那么我们也是不能选择这个跳，
我们把这些情况预处理出来就可以了；dfs找环是否存在就好了；
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0; register int f=1; register char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar(); x*=f; } int n,idx,flag,trie[3000010][26],e[3000010],fail[3000010],vis[3000010]; string s; inline void insert(string s) { int p=0; for(int i=0;i<s.size();i++) { int ch=s[i]-'0'; if(!trie[p][ch]) trie[p][ch]=++idx; p=trie[p][ch]; } e[p]=1; } inline void build() { queue<int> q; memset(fail,0,sizeof(fail)); for(int i=0;i<10;i++) if(trie[0][i]) q.push(trie[0][i]); while(q.size()) { int k=q.front();q.pop(); for(int i=0;i<10;i++) { if(trie[k][i]) { fail[trie[k][i]]=trie[fail[k]][i]; q.push(trie[k][i]); } else trie[k][i]=trie[fail[k]][i]; } } } inline void dfs(int x) { if(flag) return ; for(int i=0;i<=1;i++) { int p=trie[x][i]; if(!vis[p]&&!e[p]) { vis[p]=1; dfs(p); vis[p]=0;//还原现场； } else if(vis[p]&&!e[p]) { flag=1; return ; } } } int main() { // freopen("a.in","r",stdin); // freopen("a.out","w",stdout); read(n); for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>s; insert(s); } build(); vis[0]=1; for(int i=1;i<=idx;i++) { int k=i,m=0; while(k>0) { if(e[k]) m=k; k=fail[k]; } k=i; if(m==0) continue; while(k>0) { if(k==m) break; e[k]=1; k=fail[k]; } } dfs(0); if(flag) { printf("TAK\n"); } else { printf("NIE\n"); } return 0; }
这个题目让我们找能匹配的最长前缀，显然我们预处理出来所有情况，在匹配的时候，当不能匹配的时候退出，此时就是最大长度；
//#include<bits/stdc++.h> #include<iomanip> #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<queue> #include<deque> #include<cmath> #include<ctime> #include<cstdlib> #include<stack> #include<algorithm> #include<vector> #include<cctype> #include<utility> #include<set> #include<bitset> #include<map> #define INF 1000000000 #define ll long long #define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x)) #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) #define RI register ll #define db double #define EPS 1e-8 using namespace std; #define mann 100005 #define maxn 10000005 template<typename T>inline void read(T &x) { x=0; register int f=1; register char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar(); x*=f; } int n,m,idx; int trie[maxn][4],fail[maxn],e[maxn],f[maxn]; char s[maxn],d[4],b[mann][105]; inline char change(char c) { if(c=='E') return d[0]; else if(c=='S') return d[1]; else if(c=='W') return d[2]; else return d[3]; } inline void insert(char *s) { int p=0,len=strlen(s); for(int i=0;i<len;i++) { int ch=s[i]-'a'; if(!trie[p][ch]) trie[p][ch]=++idx; p=trie[p][ch]; } e[p]=1; } inline void build() { queue<int> q; memset(fail,0,sizeof(fail)); for(int i=0;i<4;i++) if(trie[0][i]) q.push(trie[0][i]); while(q.size()) { // cout<<"((()))"<<endl; int k=q.front(); q.pop(); for(int i=0;i<4;i++) { if(trie[k][i]) { fail[trie[k][i]]=trie[fail[k]][i]; q.push(trie[k][i]); } else trie[k][i]=trie[fail[k]][i]; } } } inline void query(char *s) { int len=strlen(s),p=0,k; for(int i=0;i<len;i++) { int ch=s[i]-'a'; k=trie[p][ch]; while(k>0) { if(f[k]) break;//不用再跳fail了，已被更新； f[k]=1; k=fail[k]; } p=trie[p][ch]; } } inline int ask(char *t) { int len=strlen(t),p=0; for(int i=0;i<len;i++) { int ch=t[i]-'a'; p=trie[p][ch]; if(!f[p]) return i; } return len; } int main() { // freopen("1.in","r",stdin); // freopen("a.out","w",stdout); d[0]='a',d[1]='b',d[2]='c',d[3]='d'; read(n); read(m); scanf("%s",s); for(int i=0;i<n;i++) { s[i]=change(s[i]); } for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%s",b[i]); int len=strlen(b[i]); for(int j=0;j<len;j++) b[i][j]=change(b[i][j]); insert(b[i]); } build(); query(s); for(int i=1;i<=m;i++) { cout<<ask(b[i])<<endl; } return 0; }
阿狸打字机，最近会做；
然后谈谈我对后缀数组的小理解，可能会有错误，以后会订正；
反正我也刚学这个东西，后缀自动机学了一点没来得及写题，一说到这里，我就想起来自己线性代数没写，数据结构没写，数论没写，啊啊啊；
算了，首先后缀数组（SA）是个好东西啊；
我们用基数排序是在O（n）的时间复杂度内对每个后缀进行排序；
倍增合并的话是logn的，总的复杂度变成了nlogn，比快排少一个log，还不错；
就是两个关键字搞来搞去，注释在代码里；
sa数组表示排名为i的后缀的起始下标；也就是这道题所求的答案；
x数组是第一关键字，y数组是第二关键字，c数组是桶；
我们先将x扔进桶里，排好之后将y扔进去；’
heigh数组表示排名为i的后缀和排名为i-1的后缀的lcp，（最长公共前缀）；
设h[i]=height[rk[i]]，同样的，height[i]=h[sa[i]];
有定理：h[i]>=h[i-1]-1;
不过这就是我以后写题后再来填坑吧；
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1000010; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0; register int f=1; register char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar(); x*=f; } int n,m,c[N],sa[N],x[N],y[N]; char s[N]; inline void get_sa() { m=122; for(int i=1;i<=n;i++) c[x[i]=s[i]]++;//建基数排序的桶 ，x[i]为i个字符的第一关键字 for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];// 做c的前缀和，为了求出每个关键字最多在第几名； for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[i]]--]=i; for(int k=1;k<=n;k=k<<1) { int num=0;//一个计数器； for(int i=n-k+1;i<=n;i++) y[++num]=i;//y表示是第二关键字； //因为n-k+1位到第n位是空串，空串优先级最高，排名靠前 for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k; //如果排名为i的数 在数组中是否大于k； //如果（sa[i]>k) 他可以作为第二关键字，直接把它第一关键字的位置添加y即可； //这里i枚举的是排名，第二关键字靠前的先进； for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=0;//清桶； for(int i=1;i<=n;i++) ++c[x[i]];// 此时x作为第一关键字已经更新过，直接丢尽桶； for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];//第一关键字排名为1-i的个数； for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0; //因为y是按照第二关键字排的，所以第二关键字靠后的，在第一关键字对应的桶中靠后； swap(x,y);//无脑交换 ，利用上次信息倍增向下走； x[sa[1]]=1,num=1; for(int i=2;i<=n;i++) x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num; if(num==n) break; m=num;//此时不需要122了； } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",sa[i]); } int main() { // freopen("a.in","r",stdin); // freopen("a.out","w",stdout); scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1); get_sa(); // get_height(); return 0; }
