模板 RMQ问题ST表实现/单调队列
RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：
对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小（大）值，RMQ问题是指求区间最值的问题。
for循环遍历一边，然后输出，那么你很容易想到会被T飞掉；
1、先写一种比较高效的ST算法解决这个问题。
线段树预处理O（nlogn），查询O（logn），支持在线修改
ST表预处理O（nlogn），查询O（1），但不支持在线修改
其实ST表是一种动态规划的思想；每次运用倍增思想求解每一个区间；
一个序列的子区间有o(n^2)个，根据倍增思想，我们首先在这个规模中选择一些2的正实数次幂作为代表值；
定义：f(i,j)表示[i,i+2j−1] 这段长度为2j 的区间中的最大值。也就是从i开始2j个数的最大值；
边界：f(i,0)=ai。即f[i,i]区间的最大值就是ai。
递推时我们把子区间的长度成倍增长，$f(i,j)=max{f(i,j−1),f(i+2j−1,j−1)}$；
状态转移：将[i,j]平均分成两段，一段为[i,i+2j−1]，另一段为[i+2j−1,i+2j−1]。
即两段子区间的长度均为2j−1。f(i,j)的最大值即这两段的最大值中的最大值。
查询任意区间[l,r]时，我们先计算出一个k，满足2k<r-l+1<=2k+1;也就是使2k小于区间的前提下的最大的k，
那么“从l开始2k个数”和以r结尾的2k个数，这两段一定覆盖了整个区间[l,r],
这两段的最大值分别是f[l,k],f[r-2k+1,k],两个中较大的就是整个区间[l,r]的最值，即使重叠也没有关系；
网上也有这样解释的；https://blog.csdn.net/Hanks_o/article/details/77547380
一个查询最小值的问题：质量检测
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;T f=1,ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} x*=f; } int n,m,f[500000][30],x,y; inline void Rmq(int x) { for(int i=1; i<=20; i++) { for(int j=1; j<=x; j++) { if(j+(1<<i)-1<=x)//使j+(1<<i)-1不超过区间最右端； f[j][i]=min(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]);//动态规划； } } } inline int query(int x,int y) { int k=log2(y-x+1); return min(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k]); } int main() { read(n);read(m); for(int i=1;i<=n;i++) read(f[i][0]); Rmq(n); for(int i=1;i<=n-m+1;i++) printf("%d\n",query(i,i+m-1)); return 0; }
毕竟最大最小改一下min，max就可以了；
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;T f=1,ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} x*=f; } int n,m,f[500000][30],x,y,a[100010]; inline void Rmq(int x) { for(int i=1; i<=20; i++) { for(int j=1; j<=x; j++) { if(j+(1<<i)-1<=x) f[j][i]=min(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]); } } } inline int query(int x,int y) { int k=log2(y-x+1); return min(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k]); } int main() { read(n);read(m); for(int i=1;i<=n;i++) read(f[i][0]); Rmq(n); for(int i=1;i<=m;i++) { read(x);read(y); a[i]=query(x,y); } for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",a[i]); return 0; }
但有点变态的是，这个过不了洛谷的1440，所以我们再来讲一下单调队列的实现方式；
例题：滑动窗口
这个单调队列讲解好强：https://www.luogu.org/blog/hankeke/solution-p1886
本题样例：
8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7下文中我们用q来表示单调队列，p来表示其所对应的在原列表里的序号。
-
由于此时队中没有一个元素，我们直接令1进队。此时，q={1},p={1}。
-
现在3面临着抉择。下面基于这样一个思想:假如把3放进去，如果后面2个数都比它大，那么3在其有生之年就有可能成为最小的。此时，q={1,3},p={1,2}
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下面出现了-1。队尾元素3比-1大，那么意味着只要-1进队，那么3在其有生之年必定成为不了最小值，原因很明显:因为当下面3被框起来，那么-1也一定被框起来，所以3永远不能当最小值。所以，3从队尾出队。同理，1从队尾出队。最后-1进队，此时q={-1},p={3}
-
出现-3，同上面分析，-1>-3，-1从队尾出队,-3从队尾进队。q={-3}，p={4}。
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出现5，因为5>-3，同第二条分析，5在有生之年还是有希望的，所以5进队。此时，q={-3,5},p={4,5}
-
出现3。3先与队尾的5比较，3<5，按照第3条的分析，5从队尾出队。3再与-3比较，同第二条分析，3进队。此时，q={-3,3},p={4,6}
-
出现6。6与3比较，因为3<6，所以3不必出队。由于3以前元素都＜3，所以不必再比较，6进队。因为-3此时已经在滑动窗口之外，所以-3从队首出队。此时，q={3,6},p={6,7}
-
出现7。队尾元素6小于7，7进队。此时，q={3,6,7},p={6,7,8}。
那么，我们对单调队列的基本操作已经分析完毕。因为单调队列中元素大小单调递*(增/减/自定义比较)，因此，队首元素必定是最值。按题意输出即可。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;T f=1,ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} x*=f; } int head,tail,q[1000001],p[1000001],k,n,a[1000001]; inline void maxn() { head=1;tail=0; for(int i=1;i<=n;i++) { while(head<=tail&&q[tail]<=a[i]) --tail; q[++tail]=a[i]; p[tail]=i; while(p[head]<=i-k) head++; if(i>=k) printf("%d ",q[head]); } putchar('\n'); } inline void minn() { head=1;tail=0; for(int i=1;i<=n;i++) { while(head<=tail&&q[tail]>=a[i]) --tail; q[++tail]=a[i]; p[tail]=i; while(p[head]<=i-k) head++; if(i>=k) printf("%d ",q[head]); } putchar('\n'); } int main() { read(n);read(k); for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]); minn(); maxn(); return 0; }
