蓝精灵算法进阶——动态规划背包（1）

我觉得我还是分好几篇写这个东西吧-嗷；

PACK

还有一个网站背包模板都有；AcW

1.01背包

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

思路：用已经处理好的物品作为dp的阶段，每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}；

但还可以进一步优化我们可以省去f数组的第一维，只用一维数组，f[j]表示外层循环到i时，已经装了总体积为j的物品的最大价值和；

注意j到倒序循环，这样可以保证每个物品只被选择一次。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500010
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;T f=1,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-1;  ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=x*10+ch-'0';  ch=getchar();}
    x*=f;
}
int n,v,f[N],c[N],w[N];
int main()
{
    read(n);read(v);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        read(c[i]),read(w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v;j>=c[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
    cout<<f[v]<<endl;
    return 0;
}

当然顺带写一下另一种形式，01背包统计方案数；

CH 5201

n为物品，m为题解，这里我们的f[j]表示和为j的方案数，max改为求和；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1100;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;T f=1,ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}
int a[maxn],f[maxn];
int main()
{
    int n,m;
    read(n);read(m);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        read(a[i]);
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=m;j>=a[i];--j)
            f[j]+=f[j-a[i]];
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}

2.完全背包

和01背包不同，这里的物品有无数件，当然可以考虑二维去实现，但是像01背包一样可以进行优化，当我们采用正序循环，对应每个物品可以选择无数次，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500010
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;T f=1,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-1;  ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=x*10+ch-'0';  ch=getchar();}
    x*=f;
}
int n,v,f[N],c[N],w[N];
int main()
{
    read(n);read(v);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        read(c[i]),read(w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=c[i];j<=v;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
    cout<<f[v]<<endl;
    return 0;
}

统计方案数：

CH 5202

我们在完全背包的基础上将max改为求和就可以了；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4010;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;T f=1,ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}
int f[maxn];
int main()
{
    int n;read(n);
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=i;j<=n;++j)
            f[j]=(f[j]+f[j-i])%2147483648u;
    printf("%d\n",f[n]>0?f[n]-1:2147483647);
    return 0;
}

3.多个体积维度的01背包；

POJ 1015

CH POJ 1015