并查集—带权并查集—并查集的拓展域
先谈一下并查集：它是一种动态维护不重叠集合的做法，并且支持查询和合并的数据结构，是超级有用的；
1、find函数：查询某一个元素属于哪个集合；
2.union函数：将两个集合合并为一个大集合；
使用一个树形结构储存每一个集合，树上的节点表示一个元素，树根是代表集合，father数组表示当前i的父亲节点，初始化数组为本身，每次递归寻找根节点；
这样，合并的时候我们可以找到两棵树的树根，并且father[root1]=root2;就完成了操作；
并查集有压缩路径和按秩合并；
1.压缩路径：在每次执行find是将访问的节点直接指向树根；均摊复杂度O（logN）；
2.按秩合并：秩表示的是树的深度（未压缩路径时），秩也可以表示集合的大小，每次合并是将秩小的元素合并到秩较大的元素上，只增加查询小的结构的代价，只使用按秩合并，复杂度：O（logN）；
但同时使用可以将复杂度降到常数级别（不会写）；
int find(int x) { if(x==father[x]) return x; else return father[x]=find(father[x]); } void Union(int x,int y) { int p=find(x),q=find(y); if(p!=q) father[p]=q; }
当然find函数可以使用符号运算符；
int find(int x){return x==father[x]?x:father[x]=find(father[x]);}
这样你就可以写洛谷的并查集模板了；
模板；
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 500001 template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;T f=1,ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} x*=f; } int n,m,f[N]; inline int find(int x) { if(x!=f[x]) f[x]=find(f[x]); return f[x]; } inline void Union(int x,int y) { int fx=find(x); int fy=find(y); if(fx!=fy) f[fx]=fy; } int main() { read(n);read(m); for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y,z; read(x);read(y);read(z); if(x==1) { int p=find(y),q=find(z); f[q]=p; } else { if(find(y)==find(z)) cout<<"Y"<<endl; else cout<<"N"<<endl; } } return 0; }
今天想谈三道题需要将并查集的思想拓展：
学长的题解：http://www.cnblogs.com/Cydiater/p/5810261.htm 二分+2-SAT 先预处理出所有的v，然后离散化一下，在那个的基础上二分，对于每次二分出的值约束边权超过所二分出的边权的两点。
还有二分图，嗯，不会嗯，那我们来看看并查集怎么处理这道题；
第一种思路：
我们可以建立两个集合，那么初始化也要注意是2*n了，一个集合表示这两个人不在一个监狱里，另一个集合表示这两个人在一个监狱里面，那么我们就可以将所有的怒气值从大到小进行一个排序，然后进行枚举，查找他们所在的集合，然后判断是不是出现了冲突（在同一个集合里面），如果出现了冲突，那么这个值就是怒气值的最大值，直接输出就好，如果没有出现冲突，那么将这两个放在一个并查集（表示不在同一个监狱的并查集）里面，表示这两个人是在不同的监狱里面。然后继续循环。
其实这道题就是运用到了并查集的容斥原理，和一点小小的贪心，我们将尽量怒气值比较大的放在不同的监狱里面，然后放次大的，如果出现冲突，也就是说在前面的安排之下，没有办法将当前的两个人分开，那么这两个人只能在一个监狱里面，这也就是最小的怒气值。
看代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 500001 template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;T f=1,ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} x*=f; } int n,m,d[N],f[N]; struct pink { int x,y,v; }a[N<<1]; bool mycmp(pink x,pink y) { return x.v>y.v; } int find(int x) { return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]); } int main() { int flag=0; read(n);read(m); for(int i=1;i<=m;i++) { read(a[i].x);read(a[i].y);read(a[i].v); } for(int i=1;i<=2*n;i++) f[i]=i; sort(a+1,a+m+1,mycmp); for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y; x=a[i].x,y=a[i].y; int xx=find(a[i].x); int yy=find(a[i].y); if(xx==yy) { cout<<a[i].v<<endl; return 0; } f[yy]=find(a[i].x+n); f[xx]=find(a[i].y+n); } puts("0"); return 0; }
第二种思路：
可能发生冲突，所以尽量属于不同的监狱，就是属于不同的集合，怒气值越大，我们可以尽量让他们让他们属于不同的集合，如果在从大到小的安排之下不得已需要让两个人在一个集合，所以直接输出当前答案；敌人的敌人是可以放到同一个集合里的；
两种思路其实是一样的，我们用的是并查集维护一种关系；
那么：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 500001 template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;T f=1,ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} x*=f; } int n,m,d[N],f[N]; struct pink { int x,y,v; }a[N<<1]; bool mycmp(pink x,pink y) { return x.v>y.v; } int find(int x) { return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]); } int main() { int flag=0; read(n);read(m); for(int i=1;i<=m;i++) { read(a[i].x);read(a[i].y);read(a[i].v); } for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i; sort(a+1,a+m+1,mycmp); for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y; x=a[i].x,y=a[i].y; if(find(x)==find(y)) { printf("%d\n",a[i].v); flag=1; break; } else { if(!d[x]) d[x]=y; else { int p=find(d[x]); f[p]=find(y); } if(!d[y]) d[y]=x; else { int q=find(d[y]); f[q]=find(x); } } } if(!flag) printf("%d\n",0); return 0; }
这是一个带权的并查集啦；
我们用一个d数组表示到根节点距离，size数组表示集合大小；
find和Union稍作修改；
inline int find(int x) { if(x==father[x]) return x; int root=find(father[x]);//递归寻找集合代表； d[x]+=d[father[x]];//求出边权和；return father[x]=root;//压缩路径； } void Union(int x,int y) { int p=find(x),q=find(y); father[p]=q; d[p]=size[q]; size[q]+=size[p]; }
当接受到c命令是查询，如果根节点相同，那么就是同一列，不同则不是；d数组分别记录x，y到跟节点，然后他们之间的abs(d[x]-d[y])-1;就是距离；
如果是M命令，合并即可，我们还需要用一个size数组记录集合大小；
#include<algorithm> #include<bitset> #include<cctype> #include<cerrno> #include<clocale> #include<cmath> #include<complex> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> #include<deque> #include<exception> #include<fstream> #include<functional> #include<limits> #include<list> #include<map> #include<iomanip> #include<ios> #include<iosfwd> #include<iostream> #include<istream> #include<ostream> #include<queue> #include<set> #include<sstream> #include<stack> #include<stdexcept> #include<streambuf> #include<string> #include<utility> #include<vector> #include<cwchar> #include<cwctype> using namespace std; #define N 1000001 template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;T f=1,ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} x*=f; } int n,x,y,father[N],d[N],size[N]; inline int find(int x) { if(x==father[x]) return x; int root=find(father[x]); d[x]+=d[father[x]]; father[x]=root; return father[x]=root; } void Union(int x,int y) { int p=find(x),q=find(y); father[p]=q; d[p]=size[q]; size[q]+=size[p]; } int main() { for(int i=1;i<=N;i++) father[i]=i,d[i]=0,size[i]=1; read(n); for(int i=1;i<=n;i++) { char c; cin>>c; read(x);read(y); if(c=='M') Union(x,y); else if(c=='C') { int p=find(x),q=find(y); if(p!=q) { cout<<"-1"<<endl; } else { printf("%d\n",abs(d[x]-d[y])-1); } } } return 0; }
这种传递关系只用一次并查集显然维护不了，所以我们可以考虑使用并查集的拓展域；
把每个动物x拆成三个点，同类域xself，捕食域xeat，天敌域xenemy；
如果x吃y，那么换句话讲，x的捕食域是y的同类，x的同类是y的天敌，x的天敌是y的捕食域，因为为环形关系；
如果x和y是同类，x的天敌和y的天敌是一类，x的捕食域和同类和y分别都一样；
合并就完事了；
判断谎言（flam）
与x和y是同类矛盾：
1.xeat和yself是一个集合；
2.xself和yeat是一个集合；
与x吃y矛盾：
1.xself和yself在一个集合；
2.xself和yeat在一个集合；
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1000001 template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;T f=1,ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} x*=f; } int n,m,xself,yself,xenemy,yenemy,xeat,yeat,father[N],x,y,z,flam; int find(int x) { if(x==father[x]) return x; else return father[x]=find(father[x]); } void Union(int x,int y) { int p=find(x),q=find(y); if(p!=q) father[p]=q; } int main() { read(n);read(m); for(int i=1;i<=3*n;i++) father[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) { read(z);read(x);read(y); xself=(x-1)*3+1,xeat=(x-1)*3+2,xenemy=x*3; yself=(y-1)*3+1,yeat=(y-1)*3+2,yenemy=y*3; if(x>n||y>n) { flam++; continue; } if(z==1) { if(find(xself)==find(yeat)||find(xeat)==find(yself)) { flam++; continue; } Union(xself,yself); Union(xenemy,yenemy); Union(xeat,yeat); } if(z==2) { if(find(xself)==find(yself)||find(yeat)==find(xself)) { flam++; continue; } Union(xeat,yself); Union(xself,yenemy); Union(xenemy,yeat); } } cout<<flam<<endl; return 0; }
