D1图论最短路专题
第一题：poj3660
其实是Floyed算法的拓展：Floyd-Wareshall。初始时，若两头牛关系确定则fij = 1。 对于一头牛若确定的关系=n-1，这说明这头牛的排名是确定的。
通过寻找节点k来判断；
#include<algorithm> #include<bitset> #include<cctype> #include<cerrno> #include<clocale> #include<cmath> #include<complex> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> #include<deque> #include<exception> #include<fstream> #include<functional> #include<limits> #include<list> #include<map> #include<iomanip> #include<ios> #include<iosfwd> #include<iostream> #include<istream> #include<ostream> #include<queue> #include<set> #include<sstream> #include<stack> #include<stdexcept> #include<streambuf> #include<string> #include<utility> #include<vector> #include<cwchar> #include<cwctype> using namespace std; inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='- ') f=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();} return x*f; } int n,m,x,y,f[5100][5100],ans,tot; void floyed() { for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=f[i][j]|f[i][k]&f[k][j]; } int main() { n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { x=read();y=read(); f[x][y]=1; } floyed(); for(int i=1;i<=n;i++) { int ans=0; for(int j=1;j<=n;j++) { if(f[i][j]||f[j][i]) ++ans; } if(ans==n-1) ++tot; }cout<<tot; return 0; }
第二题：UVA11374枚举（还没写，会补上）；
第三题：bzoj4152 考虑建边，如果暴力建边则需要建n2条边，显然不可接受。
可以分析一下边权的性质：对于(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3)这三个点 若x1 ≤ x2 ≤ x3，（即相邻）则从x方向由P1− > P3的边可以 由(P1− > P2) + (P2− > P3)组成，所以P1− > P3的边可以不用显式的 建出来，而是由P1− > P2 和P2− > P3 的边构成。 注意：本题最短路算法卡SPFA。（我写过一篇这个题解，https://www.cnblogs.com/Tyouchie/p/10360824.html可参考）
#include<algorithm> #include<bitset> #include<cctype> #include<cerrno> #include<clocale> #include<cmath> #include<complex> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> #include<deque> #include<exception> #include<fstream> #include<functional> #include<limits> #include<list> #include<map> #include<iomanip> #include<ios> #include<iosfwd> #include<iostream> #include<istream> #include<ostream> #include<queue> #include<set> #include<sstream> #include<stack> #include<stdexcept> #include<streambuf> #include<string> #include<utility> #include<vector> #include<cwchar> #include<cwctype> #define inf 0x3f using namespace std; #define pii pair<int,int> inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();} return x*f; } struct pink { int x,y,id; }h[201000]; struct gg { int y,next,v; }a[200000<<2]; bool mycmp1(pink a,pink b) { return a.x<b.x; } bool mycmp2(pink s,pink m) { return s.y<m.y; } int lin[201000],n,m,tot; bool vis[201000]; long long dis[201000]; inline void init(int x,int y,int z) { a[++tot].y=y; a[tot].v=z; a[tot].next=lin[x]; lin[x]=tot; } /*void dijkstra(int s) { priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q; for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf*(i!=s); q.push(pii(dis[s],s)); while(!q.empty()) { pii now=q.top();q.pop(); int u=now.second; // cout<<")"<<u<<endl;system("pause"); if(dis[u]<now.first) continue; for(int i=lin[u];i;i=a[i].next) { int v=a[i].y; if(dis[v]>dis[u]+a[i].v) { dis[v]=dis[u]+a[i].v; q.push(pii(dis[v],v)); } } } }*/ inline void dijkstra_heap(int s) { memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); memset(vis,0,sizeof(vis)); priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q; dis[s]=0; q.push(make_pair(0,s)); while (!q.empty()) { int x=q.top().second; q.pop(); if (vis[x]) continue; vis[x]=1; for (int i=lin[x];i;i=a[i].next) { int y=a[i].y; if (dis[y]>dis[x]+a[i].v) { dis[y]=dis[x]+a[i].v; q.push(make_pair(dis[y],y)); } } } } int main() { n=read(); for(int i=1;i<=n;i++) h[i].id=i,h[i].x=read(),h[i].y=read(); sort(h+1,h+n+1,mycmp1); for(int i=1;i<n;i++) init(h[i].id,h[i+1].id,abs(h[i].x-h[i+1].x)),init(h[i+1].id,h[i].id,abs(h[i].x-h[i+1].x)); sort(h+1,h+n+1,mycmp2); for(int i=1;i<n;i++) init(h[i].id,h[i+1].id,abs(h[i].y-h[i+1].y)),init(h[i+1].id,h[i].id,abs(h[i].y-h[i+1].y)); dijkstra_heap(1); cout<<dis[n]<<endl; return 0; }
第四题：UVA10603 不会写对不起；
第五题：HYSBZ2662；主要是运用一个分层图的思想，注意到k是比较小的，所以我们可以把k强行拆开，把一个点分为k个，分别表示用k张卡片所走的最短路，我们可以理解为走了k个图，相邻图之间的路变为原来所走的路的一半，所以这样建图：各层内部正常连边，各层之间权值为一半的边。每跑一层，就相当于使用一次卡片。跑一遍从s到t+n*k的最短路即可，第i层和第i+1层之间路权值变为原来的一半；相当于用了一次卡，这里我用了dijkstra的堆优化（多练习一下刚学会），spfa也可以过；
#include<algorithm> #include<bitset> #include<cctype> #include<cerrno> #include<clocale> #include<cmath> #include<complex> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> #include<deque> #include<exception> #include<fstream> #include<functional> #include<limits> #include<list> #include<map> #include<iomanip> #include<ios> #include<iosfwd> #include<iostream> #include<istream> #include<ostream> #include<queue> #include<set> #include<sstream> #include<stack> #include<stdexcept> #include<streambuf> #include<string> #include<utility> #include<vector> #include<cwchar> #include<cwctype> using namespace std; int h,n,m,k,s,t,a,b,c,tot,lin[220009]; inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();} return x*f; } struct edge { int y,v,next; }an[4200009]; int dis[220009]; bool vis[220009]; typedef pair <int,int> pii; priority_queue <pii,vector<pii>,greater<pii> > q; void add(int x,int y,int z) { an[++tot].y=y; an[tot].v=z; an[tot].next=lin[x]; lin[x]=tot; } void diskstra_heap(int s) { memset(dis,127,sizeof(dis)); dis[s]=0; q.push(make_pair(dis[s],s)); int x,j; while (q.size()) { x=q.top().second; q.pop(); if(vis[x]) continue; vis[x]=true; for (int i=lin[x];i;i=an[i].next) { j=an[i].y; if(dis[x]+an[i].v>=dis[j]) continue; dis[j]=dis[x]+an[i].v; q.push(make_pair(dis[j],j)); } } } int main() { n=read();m=read();k=read(); for (int i=1;i<=m;++i) { a=read();b=read();c=read(); add(a,b,c); add(b,a,c); for (int j=1;j<=k;++j) { add(j*n+a,j*n+b,c); add(j*n+b,j*n+a,c); add((j-1)*n+a,j*n+b,c/2); add((j-1)*n+b,j*n+a,c/2); } } s=1,t=n;//从1到n的路径 diskstra_heap(s); int ans=dis[t]; for(int i=0;i<=k;++i) ans=min(ans,dis[i*n+t]); cout<<ans; return 0; }
第六题：数论建图：luoguP2371；（重点强调神仙题）
这个题拿到题面，数学题？推结论 ？后来发现很明显不能写，如果直接寻找x的结果，可想。。。不可做；
后来学长一句话：无限背包跑最短路。wow什么，没听说过；
上课ppt的题解：题目可以理解成经典的背包问题。只是他问你的是[Bmin, Bmax ]区间 中有多少个容积是恰好可以装满的。范围很大，传统的暴力是行不通 的。 首先取出最小的ai，设为p。那么考虑令d[i]表示当物体的总 重mod p = i时，物体最少的重量。设d[i] = t，那么显然对于所有的x， 如果x mod p = i且t ≤ x，都可以用总重最少的那个方案再加上若干个p 到。 同时，考虑加入一个物体u，那么显然有d[(i + u) mod p]可以 由d[i] + u得到，这不就是两点间连边吗？d[i]求最小值不就是最短路 吗？ 方案数转化为了最短路问题。（理解了好久觉得挺对）
另外：我们可以用数论的思想来转向图论思考；我们在这些数列an里任取一个ai，表示为k，那 么这个B%k肯定是在0–k-1之间的，如果一个B满足条件，B%k=d， 那么（B+k）%k也肯定为d，那其实就是说，只要我们能找到，B%k=d的， 且满足条件的最小的B，在一直往上加k，直到加到最大上届为止,并统计个数，（这些B都是符合条件的）， 就得到了B%k=d所有的可能，在枚举不同的d，累加起来；
我们要d尽可能的小，就要k尽可能的小，所以我们对数列进行排序，取最小的ai，那么当前我们能寻找到最小的B；（有些题解说是同余最短路）；
#include<algorithm> #include<bitset> #include<cctype> #include<cerrno> #include<clocale> #include<cmath> #include<complex> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> #include<deque> #include<exception> #include<fstream> #include<functional> #include<limits> #include<list> #include<map> #include<iomanip> #include<ios> #include<iosfwd> #include<iostream> #include<istream> #include<ostream> #include<queue> #include<set> #include<sstream> #include<stack> #include<stdexcept> #include<streambuf> #include<string> #include<utility> #include<vector> #include<cwchar> #include<cwctype> #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll using namespace std; inline long long read() { long long x=0,f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='- ') f=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();} return x*f; } long long dis[500005],vis[500005],tot,n,l,r; long long mina,minb,minv=inf,a[1000]; void spfa() { memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); memset(vis,0,sizeof(vis)); queue<int>q; dis[0]=0;vis[0]=1; q.push(0); while(q.size()) { int x=q.front();q.pop();vis[x]=0; for(int i=1;i<=n;i++) { int y=(x+a[i])%minv; if(dis[y]>dis[x]+a[i]) { dis[y]=dis[x]+a[i]; if(!vis[y]) vis[y]=1,q.push(y); } } } } long long query(long long x) { long long ans=0; for(int i=0;i<minv;i++) { if(dis[i]<=x) ans+=(x-dis[i])/minv+1; } return ans; } int main() { n=read();l=read();r=read(); for(int i=1;i<=n;i++) { a[i]=read(); if(!a[i])i--,n--; minv=min(minv,a[i]); } spfa(); cout<<query(r)-query(l-1); return 0; }
