动态dp学习笔记

\(noip\)考了，赶紧补一发。

不得不说网上的题解还是不错的ljq的代码吼啊

• 一开始看的博客
• 模板
• 其实我感觉看博客不如看别人优秀的代码来的快
• 朴素\(dp\)的想法就是\(f_{i,01}\)表示当前点\(i\)选还是不选。
• 而动态\(dp\)的思想就是，把\(dp\)方程写成矩阵乘法的形式，然后用数据结构来维护区间矩阵乘积。

首先是树链剖分的思想

• 讲一讲自己的感想
• 首先我们为了使得\(f\)带修改，引入了树链剖分套线段树维护矩阵进行\(dp\)。
• 但是这样我们是无法直接维护\(f\)的，因为剖分的思想是重链不会超过\(log\)次划分。
• 假设我们现在可以一次性跳完整个重链，那么问题就变成了是否可以从重链顶跳到上一个重链
• 于是我们引入新数组\(g\)，表示不算当前重链的所有贡献。
• 那么我们只需要维护\(g\)，每次修改就直接把整个重链的\(g\)全部\(\prod\)起来，然后修改父亲的\(f\)。
• 此时我们发现，不是每个地方的\(f\)都是有意义的。
• 首先我们知道每个位置的\(g\)，然后用线段树维护他。
• 维护\(g\)的原因是我们可以通过线段树优化\(dp\)转移使得在\(log\)的时间内得到一段的\(g\)卷积。
• 所以我们只知道每个链顶的\(f\)值，而并不关心每个点的\(f\)。
• 那么问题就简单多了，对于每次修改，我们只需要修改当前点的\(g\)，然后\(\prod\)到链顶的\(f\)，再用当前的\(f\)更新父亲的\(g\)，重复这个操作。
• 实际上我们又给出了\(f\)的新定义，即\(f=\prod g\).
• 总结一下就是：
• 个人认为动态\(dp\)的思想在于整体考虑一整个重链的\(dp\)转移。
• 然后再把这个重链的\(dp\)转移贡献给链顶父亲
• 那么在实际设计状态的时候，形如\(g_{i,j}\)表示\(i\)点不考虑重儿子的\(dp\)值。
• 然后根据状态转移方程一次性考虑一整个重链
• 这样的话，我们在修改操作的时候，就只需要考虑链与链之间的关系了。
• 至此，我们得到了一个\(O(4*q*log^2n)\)的做法。

但是这样还是不够优秀

• 我们选择更加优秀的\(lct\)维护矩阵信息。
• 优秀博客
• 不会lct来这里moflash
• 此时的\(f\)含义为\(splay\)整个的\(g\)卷积，\(g\)表示虚树\(dp\)和。
• 那么\(splay\)就维护了整个实链的\(dp\)值。
• 重点说\(access\)……
• 转到根，换儿子，更新信息，前操作点切换为轻边所指的父亲，转1。
• 因为除此之外全是模板。
• 假设当前实链顶端结点是\(y\)，它爹是\(x\)，我们要做的就是把\(x\)在\(splay\)上的右儿子设置为\(y\)。这对于我们维护的虚子树信息而言有两个影响：
• 原来\(x\)的右儿子变成了虚的，相当于多了一棵虚子树。
• \(y\)由虚的变成了实的，相当于少了一棵虚子树。
• 另外这个\(LCT\)有点特别：它既不\(L\)也不\(C\)，所以我们不需要翻转标记，不需要\(pushdown\)，不需要\(makeroot\)什么什么的。
• 至此，我们得到了一个\(O(4*q*logn)\)的做法。
• 至于为什么复杂度更加优秀，是因为树剖要一条链一条链往上，一边改一边查，而\(LCT\)只要简单粗暴地\(access\)一下即可。
• 在区间问题中，树剖加线段树是将链进行分治从而提取了很多段区间分别分治，但是\(lct\)和\(splay\)的优势在于可以动态快速提取出整个区间。
• \(lct\)相比于树剖，其实是避开了链分治的过程，也就省去了一个\(log\)的时间复杂度。
• 至于实现过程，我们一开始不需要建所有的\(splay\),可以认为一个\(splay\)就只有一个点本身，也就是所有的边都是虚的。

但是问题在于，我好像忘了\(lct\)怎么打了

。。。。。
先咕咕，等停课了再说。