【BZOJ】【3675】【APIO2014】序列分割
DP+斜率优化
首先我们根据这个分割的过程可以发现：总得分等于k+1段两两的乘积的和（乘法分配律），也就是说与分割顺序是无关的。
再对乘积进行重分组（还是乘法分配律）我们可以转化为：$ans=\sum$第 i 段×前 i-1 段的和
所以我们就可以以分割次数为阶段进行DP啦～
令f[i][j]表示将前 j 个数分成 i 段的最大得分，那么就有$$f[i][j]=max\{ f[i-1][k]+sum[k]×(sum[j]-sum[k]) \}$$我们观察到这个式子其实是很像斜率优化的……而且sum明显满足单调性！所以来推一下决策单调性的式子=。=
当决策k1<k2时：
$$ \begin{aligned} f[i-1][k1]+sum[k1]*(sum[j]-sum[k1]) &< f[i-1][k2]+sum[k2]*(sum[j]-sum[k2]) \\ sum[j]*(sum[k1]-sum[k2]) &< f[i-1][k2]-f[i-1][k1]+sum[k1]^2-sum[k2]^2 \\ sum[j] &> \frac{f[i-1][k2]-f[i-1][k1]+sum[k1]^2-sum[k2]^2}{sum[k1]-sum[k2]} \end{aligned}$$
这题我被坑在：$sum[k1]-sum[k2]\leq 0$！！！
所以搞斜率的时候，分母可能为0……所以就不能写成斜率的形式，而是搞成上一行那种……但是由于有个负数，所以还要仔细考虑不等号的方向！QAQ
1 /************************************************************** 2 Problem: 3675 3 User: Tunix 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:18176 ms 7 Memory:5180 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 //BZOJ 3675 11 #include<vector> 12 #include<cstdio> 13 #include<cstring> 14 #include<cstdlib> 15 #include<iostream> 16 #include<algorithm> 17 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i) 18 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) 19 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i) 20 #define pb push_back 21 using namespace std; 22 inline int getint(){ 23 int v=0,sign=1; char ch=getchar(); 24 while(ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();} 25 while(ch>='0'&&ch<='9'){ v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();} 26 return v*sign; 27 } 28 const int N=1e5+10,INF=~0u>>2; 29 typedef long long LL; 30 /******************tamplate*********************/ 31 LL f[2][N],a[N],sum[N]; 32 int from[N],n,m,q[N]; 33 double slope(int i,int j,int k){ 34 i=i&1; 35 return double(f[i][k]-f[i][j]+sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k]); 36 } 37 int main(){ 38 #ifndef ONLINE_JUDGE 39 freopen("3675.in","r",stdin); 40 freopen("3675.out","w",stdout); 41 #endif 42 n=getint(); m=getint(); 43 F(i,1,n) a[i]=getint(),sum[i]=sum[i-1]+a[i]; 44 F(i,1,m){ 45 int now=i&1; 46 int l=0,r=-1; q[0]=0; 47 F(j,1,n){ 48 while(l<r && slope(i-1,q[l],q[l+1])>=sum[j]*(sum[q[l]]-sum[q[l+1]])) l++; 49 int t=q[l]; 50 f[now][j]=f[now^1][t]+sum[t]*(sum[j]-sum[t]); 51 while(l<r && slope(i-1,q[r-1],q[r])*(sum[q[r]]-sum[j])>=slope(i-1,q[r],j)*(sum[q[r-1]]-sum[q[r]])) r--; 52 q[++r]=j; 53 } 54 } 55 printf("%lld\n",f[m&1][n]); 56 return 0; 57 }
3675: [Apio2014]序列分割
Time Limit: 40 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 541 Solved: 202
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Description
小H最近迷上了一个分割序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长
度为N的非负整数序列分割成k+l个非空的子序列。为了得到k+l个子序列，
小H将重复进行七次以下的步骤：
1．小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的
序列一一也就是一开始得到的整个序列）；
2．选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新
序列。
每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序
列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方案，使得k轮（次）之后，
小H的总得分最大。
Input
输入文件的第一行包含两个整数n和尼(k+1≤n)。
第二行包含n个非负整数a1，n2…．，an(0≤ai≤10^4)，表示一开始小H得
到的序列。
Output
一行包含一个整数，为小H可以得到的最大得分。
Sample Input
4 1 3 4 0 2 3
Sample Output
HINT
【样例说明】
在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：
1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置
将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。
2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数
字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+
3)=36分。
3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个
数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=
20分。
经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。
【数据规模与评分】
：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。
