【BZOJ】【4002】【JLOI2015】有意义的字符串

构造线性递推式+矩阵乘法

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　　题解戳PoPoQQQ

　　

为了自己以后看的方便手打一遍好了>_>

　　求$( \frac{b+\sqrt{d}}{2} )^n$的整数部分对p取模后的值

　　其中$b\mod 2=1,d\mod 4=1,b^2 \leq d<(b+1)^2,n\leq10^{18}$

 

思路：

构造数列$a_n=b*a_{n-1}+\frac{d-b^2}{4}*a_{n-2}$

其中$a_0=2,a_1=b$

然后我们求出这个数列的通项公式，得到$a_n=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$

因此得到$(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n=a_n-(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$

由于$b \mod 2=1, d \mod 4=1$，因此$\frac{d-b^2}{4}$一定是个正整数，故我们可以利用矩阵乘法来求出这个数列的第$n$项

然后对于$80\%$的数据$b^2\leq d <(b+1)^2$，对于$20\%$的数据$b=1,d=5$，因此$(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n \in (-1,0]$

故后面那一项对答案有贡献当且仅当 $d\not=b^2$且$n$为偶数

时间复杂度$O(log_2n)$

 

P.S.话说题目给的提示：题目名有意义的字符串“jxamfe”以及那个奇怪的模数我还是没明白提示在哪了……>_>我讨厌猜字谜QAQ

/**************************************************************
    Problem: 4002
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:48 ms
    Memory:1272 kb
****************************************************************/
 
//Huce #5 A
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
LL getll(){
    LL v=0,sign=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return v*sign;
}
const int N=100010,INF=~0u>>2;
const LL MOD=7528443412579576937LL;
/*******************tamplate********************/
LL b,d,n;
struct matrix{
    LL d[3][3];
    LL* operator [] (int x){ return d[x];}
    matrix(int x=0){
        F(i,0,2) F(j,0,2)
            if (i==j && i) d[i][j]=x;
            else d[i][j]=0;
    }
}a;
inline LL mul(LL a,LL b){
    LL r=0;
    for(;b;b>>=1,a=(a+a)%MOD)
        if (b&1) r=(r+a)%MOD;
    return r;
}
inline matrix operator * (matrix a,matrix b){
    matrix c;
    F(i,1,2) F(j,1,2) F(k,1,2) (c[i][j]+=mul(a[i][k],b[k][j]))%=MOD;
    return c;
}
inline matrix Pow(matrix a,LL b){
    matrix r(1);
    for(;b;b>>=1,a=a*a) if (b&1) r=r*a;
    return r;
}
int main(){
    b=getll(); d=getll(); n=getll();
    a[1][1]=0; a[1][2]=(d-b*b)/4;
    a[2][1]=1; a[2][2]=b;
    a=Pow(a,n);
    cout<<((a[1][1]*2%MOD+mul(b,a[2][1])-(d!=b*b&&!(n&1)))%MOD+MOD)%MOD<<endl;
    return 0;
}

4002: [JLOI2015]有意义的字符串

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
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Description

 B 君有两个好朋友，他们叫宁宁和冉冉。

有一天，冉冉遇到了一个有趣的题目：输入 b;d;n，求((b+sqrt(D)/2)^N的整数部分，请输出结果 Mod 7528443412579576937 之后的结果吧。

Input

一行三个整数 b;d;n

 

Output

 一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。

Sample Input

1 5 9

Sample Output

76

HINT

 0 <b^2 < d< (b +1)2 < 10^18。

Source

[Submit][Status][Discuss]