【BZOJ】【3612】【HEOI 2014】平衡

DP

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　　唉我还是too naive

　　这是个整数划分题……

　　我想的DP方式是f[i][j][k]表示前 i 个数拼出 j 用了 k 个数的方案数……

　　转移当然是比较直观……

　　但是只能得30分QAQ

　　正确的DP姿势：http://blog.csdn.net/Vmurder/article/details/42551603

分析：

数据范围不大，我们可以写整数划分。

f[i][j]表示将i划分成j个互不相同的正整数，且最大不超过n 的划分方案数。

这里说一下这道题的整数划分。

我们不妨先来反向思考一下。---------------------------------------------------------------------

首先考虑f[i][j]（下图每一列都代表一个数，高度就是数值）

它可以在底下添加一行，进行转移

分为两种情况：

Ⅰ. 转移过后最小数不为1

Ⅱ. 转移过后最小数为1

然后f[i][j]可以向这两个方向转移。

而我们还需要保证最大数不能大于n，那么如下图

在最后加入一层，使得当前所有整数都+1时，发现出现了一个101，而不妨当作n是100

那么显然我们可以很方便地清掉这个数带来的情况。

即当前是f[i][j],那么最后一列是大于n的情况显然只能是有一个整数n+1

不看这个n+1，情况数是f[i-(n+1)][j-1] ,我们把这个情况集删掉就好了。

正向考虑：-----------------------------------------------------------------------------------

首先不妨把刚才的图片按顺序记作图1、2、3、4。

我们把f[i][j]（图1）这么多方案分成两种情况：

Ⅰ. 最小的数不为1：

好说。 直接由f[i-j][j]在底下加一行得到。就是图2。

此时原来划分出来的整数不同，新的这些整数显然依然不同。

 

Ⅱ. 最小的数为1：

那么显然它可以由f[i-j][j-1]转移得到，

即在f[i-j][j-1]代表图形下面整体+1，最后加上一个整数1，即图3。

注意此时f[i-j][j-1]代表的所有图形整数都不同（性质/定义），那么新加1后所有整数依然不同，且均>=2

这个时候再来个整数1，依然满足所有整数不同。

 

而这两种情况显然互补，即这两种情况的转移包含了f[i][j]的所有情况（两个命题“最小数是1”，“最小数不是1”，显然包含全部情况），也就是说转移完成。

但是我们注意到还需要让最大数不能超过n，

所以有了图4。

也就是我们要减去最大数超过n的情况，方法前文图下有说明。

这道题难点解决了。

现在说一下其它细节：

f[i][j]算出来后直接暴力枚举两边的权值，及用点个数（不要忘了中心支点）

然后check。end。

/**************************************************************
    Problem: 3612
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:3260 ms
    Memory:15336 kb
****************************************************************/
 
//Huce #2 B 
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
using namespace std;
 
int getint(){
    int v=0,sign=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return v*sign;
}
typedef long long LL;
const int N=100010,INF=~0u>>2;
/*******************tamplate********************/
LL f[N][12];
int n,k,P,sum[12],mx[N][12];
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("B.in","r",stdin);
    freopen("B.out","w",stdout);
#endif
    int T=getint();
    f[0][0]=1;
    while(T--){
        n=getint(); k=getint(); P=getint();
        if (k==1){puts("1");continue;}
        int w=n*(k-1);
        F(i,1,w)
            F(j,1,k-1){
                f[i][j]=i>=j ? (f[i-j][j]+f[i-j][j-1])%P : 0;
                f[i][j]=i>=n+1 ? (f[i][j]-f[i-(n+1)][j-1]+P)%P : f[i][j];
            }
        LL ans=0;
        F(i,1,w) F(j,1,k-1)
            (ans+=f[i][j]*f[i][k-j]+f[i][j]*f[i][k-j-1])%=P;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

3612: [Heoi2014]平衡

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Description

下课了，露露、花花和萱萱在课桌上用正三棱柱教具和尺子摆起了一个“跷跷板”。

     这个“跷跷板”的结构是这样的：底部是一个侧面平行于地平面的正三棱柱教具，

上面 摆着一个尺子，尺子上摆着若干个相同的橡皮。尺子有 2n + 1 条等距的刻度线，

第 n + 1 条 刻度线恰好在尺子的中心，且与正三棱柱的不在课桌上的棱完全重合。

     露露发现这个“跷跷板”是不平衡的（尺子不平行于地平面）。于是，她又在尺

子上放 了几个橡皮，并移动了一些橡皮的位置，使得尺子的 2n + 1 条刻度线上都恰

有一块相同质 量的橡皮。“跷跷板”平衡了，露露感到很高兴。

     花花觉得这样太没有意思，于是从尺子上随意拿走了 k 个橡皮。令她惊讶的事

情发生了： 尺子依然保持着平衡！

     萱萱是一个善于思考的孩子，她当然不对尺子依然保持平衡感到吃惊，因为这

只是一个 偶然的事件罢了。令她感兴趣的是，花花有多少种拿走 k 个橡皮的方法

，使得尺子依然保 持平衡？

当然，为了简化问题，她不得不做一些牺牲——假设所有橡皮都是拥有相同质量的

 质点。但即使是这样，她也没能计算出这个数目。放学后，她把这个问题交给了她

的哥哥/ 姐姐——Hibarigasaki 学园学生会会长，也就是你。当然，由于这个问题

的答案也许会过于 庞大，你只需要告诉她答案 mod p 的值。

Input

第一行，一个正整数，表示数据组数 T（萱萱向你询问的次数）。   

  接下来 T 行，每行 3 个正整数 n, k, p。 

Output

共 T 行，每行一个正整数，代表你得出的对应问题的答案。 

 

Sample Input

10
6 5 10000
4 1 10000
9 6 10000
4 6 10000
5 1 10000
8318 10 9973
9862 9 9973
8234 9 9973
9424 9 9973
9324 9 9973

Sample Output

73
1
920
8
1
4421
2565
0
446
2549

HINT

 T <= 20，1 <= n <= 10000，1 <= k <= 10，2 <= p <= 10000，且 k <= 2n+1。 

Source

鸣谢佚名上传

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