【BZOJ】【1045/1465】【HAOI2008】糖果传递
思路题/神奇的转化……
orz hzwer
或许这个思路可以从单行而非环形的递推中找到？（单行的时候，从左往右直接递推即可……
感觉好神奇>_<脑残患者想不出……
P.S.话说在$n\leq 10^6$的时候读入优化效果好明显……
题解：
首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了 第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave -> X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3……对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离 之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。
1 /************************************************************** 2 Problem: 1045 3 User: Tunix 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:1356 ms 7 Memory:8616 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 //BZOJ 1045 11 #include<cstdio> 12 #include<algorithm> 13 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) 14 using namespace std; 15 inline int getint(){ 16 int r=1,v=0; char ch=getchar(); 17 for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1; 18 for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) v=v*10+ch-'0'; 19 return r*v; 20 } 21 const int N=1e6+10,INF=~0u>>2; 22 typedef long long LL; 23 int n,a[N],c[N],ave; 24 LL sum; 25 int main(){ 26 n=getint(); 27 F(i,1,n){ 28 a[i]=getint(); 29 sum+=a[i]; 30 } 31 ave=sum/n; 32 F(i,2,n) c[i]=c[i-1]+a[i]-ave; 33 sort(c+1,c+n+1); 34 LL ans=0; 35 int mid=c[(n>>1)+1]; 36 F(i,1,n) ans+=abs(c[i]-mid); 37 printf("%lld\n",ans); 38 return 0; 39 }
