【POJ】【2104】区间第K大

可持久化线段树

　　可持久化线段树是一种神奇的数据结构，它跟我们原来常用的线段树不同，它每次更新是不更改原来数据的，而是新开节点，维护它的历史版本，实现“可持久化”。（当然视情况也会有需要修改的时候）

　　可持久化线段树的应用有很多，仅以区间第K大这种简单的问题来介绍这种数据结构。

 

　　我们原本建立的线段树是表示区间的，或者说，维护的是【位置】，存的是每个位置上的各种信息。它的优点是满足区间加法，但不满足区间减法，所以我们这里要换一种建树方式：对于每个区间[1,i]建立一棵权值线段树。这个线段树的作用其实就跟前缀和差不多，且像前缀和一样满足区间减法！只不过我们在求前缀和的时候保留的是sum，而权值线段树把所有的值都存下来了。

　　这里说一下它的保存方式：对[1,x]这个节点，它需要维护一个cnt值，表示在[1,x]这个值域，有cnt个数。

　　举个栗子，我们现在有一个序列{1,2,3,4,5,2,3,3,3,3}

　　然后对于表示区间[1,10]的线段树，它的节点是这样建的

　　　　　　

　　可以看出，值在[1,5]的有10个数，在[1,2]的有3个数……以此类推

　　那么我们在查询第K大的时候，就可以像平衡树那样！如果左儿子的cnt>=k则在左边找，否则在右边找，那么我们就可以顺利地查询到第K大了~

　　那么问题来了：如果我想查询[3,7]这个区间上第3大的数应该怎么办呢？（这个地方容易晕，一定要分清原序列的区间和值域，虽然都是用方括号的区间表示的……如果看了这句话更晕了，那就忘了它吧）

　　那么就要回到我们之前说的【前缀和】上来了，我们以前快速求[l,r]的区间和，是利用前缀和[1,l-1]和[1,r]区间相减快速计算的，同理，我们也可以利用[1,l-1]和[1,r]两棵线段树来进行区间第K大的查询。即在两棵树上同时往下走！详见代码。

//POJ 2104
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
using namespace std;
const int N=100086;
//#define debug

struct node{
    int x,num,rank;
}a[N];
bool cmpx(node a,node b){
    return a.x<b.x;
}
bool cmpn(node a,node b){
    return a.num<b.num;
}

struct Tree{
    int cnt,l,r;
}t[N*30];
int root[N],cnt=0,n,m;

#define mid (l+r>>1)
void updata(int &o,int l,int r,int pos){
    t[++cnt]=t[o], o=cnt, ++t[o].cnt;
    if (l==r) return;
    if (pos<=mid) updata(t[o].l,l,mid,pos);
    else updata(t[o].r,mid+1,r,pos);
    #ifdef debug
    printf("%d %d %d %d\n",o,l,r,pos);
    #endif
}

int query(int i,int j,int rank){
    i=root[i],j=root[j];
    int l=1,r=n;
    while(l!=r){
        if (t[t[j].l].cnt-t[t[i].l].cnt>=rank)//在两棵树上一起往下走 
            r=mid,i=t[i].l,j=t[j].l;
        else{
            rank-=t[t[j].l].cnt-t[t[i].l].cnt;
            l=mid+1,i=t[i].r,j=t[j].r;
        }
    }
    return l;
}
#undef mid

int main(){
    freopen("file.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x=0;
    F(i,1,n) {scanf("%d",&a[i].x); a[i].num=i;}
    sort(a+1,a+n+1,cmpx);
    F(i,1,n) a[i].rank=i;
    sort(a+1,a+n+1,cmpn);
    F(i,1,n) {
        root[i]=root[i-1];
        updata(root[i],1,n,a[i].rank);//此处可以先不理解……
        //简单来说就是：为了节约空间，我们并不需要真的给每个区间建一棵完整的线段树
        //而是可以在原来的基础上进行新的维护（即原来的为历史版本） 
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmpx);
    F(i,1,m){
        int l,r,k;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
        printf("%d\n",a[query(l-1,r,k)].x);
    }
    return 0;
}