树分治学习笔记

前言

既然序列可以分治，那么树也可以分治。树上的分治可以分为点分治与边分治。

点分治

边分治主要用于处理树上路径问题。

考虑一个分治的过程：选中一棵树的根，计算经过根的路径的贡献，然后以其子结点为根对子树递归地计算贡献。容易发现，在构造数据下这种算法的复杂度是可以达到 $O(n^2)$ 的，原因在于递归的层数可能太深了。如果不使用子结点，而是使用子树的重心，那么每一次子树的大小都会减半，递归层数降到了 $O(\log n)$ 级别。而每一层的点数是 $O(n)$ 的，所以总时间复杂度变成了 $O(nk\log n)$，其中 $k$ 是统计贡献的复杂度。

然而从理论到实现还是需要一定距离的，因为点分治需要很多细节。

拓展：点分序列

我们可以将每次计算贡献函数里的点都加进一个序列，那么我们就得到了有 $O(n\log n)$ 个数，称为点分序列。我们不妨在上面维护一些信息，比如说这个点到它当时的根的路径产生的贡献。这样你就通过 $O(n\log n)$ 个区间来表示整棵树的路径信息了。可以用来做超级钢琴类似的东西。

点分树

有了点分治的基础，我们就可以方便定义点分树了。点分树的构造方式就是每一个重心向下一层递归中心连有向边，形成一棵有根树。它有两个重要的性质：

• 它的深度是 $O(\log n)$ 级别的。

• 对于 $u$ 和 $v$，它们在点分树上的 $\text{lca}$ 在原树 $u$ 到 $v$ 的路径上。

由第二个性质我们可以得到 $\text{dist}(u,\text{lca})+\text{dist}(v,\text{lca})=\text{dist}(u,v)$。其中 $\text{dist}$ 是原树上距离，而 $\text{lca}$ 是点分树上 $\text{lca}$。

有了这个重要的性质，就可以直接暴力跳祖先维护了。