复习了一些数论手法。
考虑以下转换：
σ(ijk)=∑x|i∑y|j∑z|k[gcd(x,y)=1][gcd(y,z)=1][gcd(z,x)=1]
证明就是对于第 t 个质因子，其在三个数中的出现次数是 at,bt 和 ct，则因数个数是 ∏t(at+bt+ct+1)。考虑右式，计算这样的三元组数。每一个质因子分开考虑，无非就是其不出现，或者仅出现于三个数中的一个。用乘法原理计数一下，得到的也是 ∏t(at+bt+ct+1)。故上式成立。
稍微变形：
A∑i=1B∑j=1C∑k=1[gcd(i,j)=1][gcd(j,k)=1][gcd(k,i)=1]⌊Ai⌋⌊Bj⌋⌊Ck⌋
这个东西已经有三元环计数的雏形了，但是边数太多。考虑继续大力莫反，则式子变成了：
min(A,B)∑i=1min(B,C)∑j=1min(C,A)∑k=1μ(i)μ(j)μ(k)f(⌊Alcm(k,i)⌋)f(⌊Blcm(i,j)⌋)f(⌊Clcm(j,k)⌋)
其中 f(x)=x∑i=1σ(i)，这可以预处理出来。
我们对这个东西建图，三元环计数。具体来说，就是把莫比乌斯函数值不为 0 的数当作点，将最小公倍数在 max{A,B,C} 以内的两个数连边。令人惊讶的是，这样的图边数是在 8×105 的级别的。跑一遍三元环就行了。
还有一个小问题，就是怎么建图。不能直接枚举每两个点之间有没有边。但是可以考虑先枚举两点的最大公因数，再枚举两个它的倍数，在最小公倍数过大时停止。虽然复杂度还是暴力的，但是因为边数少，所以实际上跑得很快。
本文作者：TulipeNoire
本文链接：https://www.cnblogs.com/TulipeNoire/p/18725450/P4619
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