行列式的一些妙用
我们知道 ，这是行列式的定义。
我们定义 积和式为 。
积和式的计算是 NP 的。但是有的时候我们可以用行列式来完成一些积和式可以完成的东西。
比如最简单的，给定一个两边分别有 个点的二分图，问是否存在完美匹配。算邻接矩阵 积和式的值就可以得到完美匹配的数量。但是由于是判定性问题，我们可以考虑用行列式做，做法如下：
将每条边附一条 范围内的随机边权， 是带权邻接矩阵。那么我们只需要判断行列式的值是否为 就可以了。考虑感受这个做法的正确性：首先如果不存在完美匹配，算出来的行列式肯定是 。这个做法本质上来说相当于是对每个完美匹配赋予了一个随机权值，算出来的值就是所有完美匹配的权值和。故由于随机化，大部分情况的判断是正确的。概率证明可以看 Schwartz–Zippel 引理。
但是你会说这个东西我直接匈牙利就算完了呀。确实，不过因为匈牙利在这一方面并不是万能的。考虑下面一个问题：
还是上述二分图，但是边有 的边权。对于所有 求是否有完美匹配使得其边权按位与和是 。
用容斥的方法肯定就是算边权按位与和为 的超集的方案数，再减去超集的答案数。这下匈牙利就无能为力了。而由于行列式方法相当于是对每个完美匹配赋予一个权值，所以这道题还是能够把行列式的值当作前面提到的方案数来计算。在时间复杂度 内解决了这个问题。
本文作者：TulipeNoire
本文链接：https://www.cnblogs.com/TulipeNoire/p/18650850/Determinant
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