「JOI Open 2019」三段跳び

题意：

$n$ 个数， $q$ 次查询，每次给出区间 $[l,r]$ ，求区间内满足以下条件的三元组 $(x,y,z)$ 中 $a_{x}+a_{y}+a_{z}$ 的最大值：

$x<y<z$ 。
$y-x\le z-y$ 。

做法

考虑可能成为答案的 $x$ 和 $y$ 组成的二元组 $(x,y)$ 是很少的。事实上，这是 $\mathcal O(n)$ 级别的。我们可以考虑这样的 $(x,y)$ 满足的性质：其必然有 $\max\limits_{i=x+1}^{y-1}a_i<\min\{a_x,a_y\}$ ，否则将一个小的位置换成中间的最大值肯定更优。

而这个条件非常舒服，可以直接单调栈求出这些二元组。具体地，维护一个不降的栈，在访问栈顶时（不一定要成功弹栈）把顶端元素与当前元素组成的二元组加入。这样容易发现不会漏掉任何一个合法的二元组。

得到这 $\mathcal O(n)$ 个二元组过后怎么快速计算呢？考虑离线下来，按左端点排序，扫描线从右往左扫，不断加入新的二元组，并对某一个后缀进行更新，表示这一个后缀作为 $z$ 可以与 $(x,y)$ 组合。具体地，令 $b_i$ 为 $i$ 作为 $z$ 时 $a_x+a_y$ 的最大值。那么修改操作就是区间的 $b_i$ 对一个值取最大值，查询的是区间 $a_i+b_i$ 的最大值。这个用线段树怎么做呢？

答案很简单！维护某个区间的 $a_{\max}$ 和 $v_{\max}$ 表示区间内 $a_i$ 的最大值与 $a_i+b_i$ 的最大值，那么当更新的值为 $d$ 时只需要 $v_{\max}\leftarrow \max\{v_{\max},a_{\max}+d\}$ 即可。自己稍加思考便可想清楚了。

至此，我们用 $\mathcal O((n+q)\log n)$ 的时间复杂度解决了这个问题。

上一篇「UR#2」树上 GCD

下一篇一类经典问题的若干解法

本文作者：TulipeNoire

本文链接：https://www.cnblogs.com/TulipeNoire/p/18015206/balabala

posted @ 2024-02-14 14:55 TulipeNoire 阅读(24) 评论(3) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

tulipenoire

「JOI Open 2019」三段跳び

题意：

做法

公告

常用链接

最新随笔

我的标签

积分与排名

合集

随笔档案

阅读排行榜

推荐排行榜

最新评论