【博弈论】BZOJ 1115-石子游戏

题意：有N堆石子，除了第一堆外，每堆石子个数都不少于前一堆的石子个数。两人轮流操作 每次操作可以从一堆石子中移走任意多石子，但是要保证操作后仍然满足初始时的条件 谁没有石子可移时输掉游戏。问先手是否必胜。

 

 

这个题是一个阶梯博弈的问题。一开始没有接触过，各种度娘然后搞懂了，赶快记下来。

 

何为阶梯博弈？

简单的用Nim来说，一段台阶上，每个台阶上放了一堆石子，每次能从除了第一阶的台阶上取任意多石子向下放一级。无法操作的人输。

 

神犇告诉我，这个游戏的SG值就是奇数阶梯的SG值Xor起来...跪拜。

那么来证明一下。

 

如果只考虑奇数阶的情况我是必胜态，那么在这个游戏存在一个策略使我必胜——

　　按只考虑奇数阶的策略行动。那么对手现在处于必败态。如果对手移动的是奇数阶的，依旧按照奇数阶的必胜策略行动。

　　而如果对手移动的是偶数阶的，我可以将对手移动的石子再移动到下一阶。石子的数量和堆数都是之前我的状态，即对手的必败态。

　　如此重复，偶数阶的最后一颗石子一定是我将某些数量的石子由2->1。

　　可以看到，偶数阶对答案和决策并没有影响。

 

以上就是神奇的阶梯博弈！

 

 

那么这个题目需要稍微转换一下。

第i堆移走x个石子后，第i+1堆多了x个石子可以操作。是不是相当于将x个石子移动到了下一阶？

 

剩下的自己YY一下吧，贴个代码。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

int ans,a[10005],n,i,T;

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d\n",&n); ans = 0;
        for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%d",&a[i]);

        for (i = n; i > 1; i -= 2) ans ^= (a[i]-a[i-1]);
        if (n % 2) ans ^= a[1];

        if (ans) printf("TAK\n"); else printf("NIE\n");
    }

    return 0;
}