【HNOI 2011】BZOJ 2326-数学作业

按照教练的要求来写一写历年HNOI的题目...挑几道好写的来做

 

题意我就不说了。

一开始就被BZOJ上的Tag剧透了个爽，直接省掉70%的思考过程...

 

　　　　很容易可以得出的O(n)递推式 ：f[n] = f[n-1] * 10 ^len(n) + n

 

然后我们考虑如何用矩阵乘法来简化这个式子。

 

因为len(n)是一个变量，而且表示比较复杂。因此只需要将n分成几段，比如1-9,10-99这些位数相同的区间。

观察一下式子，里面有f[n],f[n-1],n这些变量，10^a这个常量。

 

假设现在有这么一个矩阵，在已知f[n-1]，n的情况下能够得出f[n],n+1就好了是吧？

　　　　f[n-1]  ——>  f[n-1] * 10^a + n

　　　　n ——> n+1

————————————————————————————————————————

　　　　f[n-1]           |                      |                          f[n-1] * 10^a 

　　　　n             *   |                      |              =          n+1  

　　　　1                 |                       |                         1

 

易之，所求的矩阵应该是

10^a     1         0

0         1         1

0         0         1

 

那么把这个矩阵快速幂一下，然后改一下[1][1]的值继续快速幂，最后与

0

1

1

乘以下，[1][1]位的就是答案了。

 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
int i,j,n,m,k;
ll N,p,a;

struct matrix
{ 
    int n,m; ll d[4][4];
    void clear() { n = m = 0; memset(d,0,sizeof(d)); }
} S,T;

matrix operator * (const matrix &a,const matrix &b)
{
    matrix ans;
    ans.clear();
    for (int i = 1; i <= a.n; i++)
        for (int j = 1; j <= b.m; j++)
            for (int k = 1; k <= a.m; k++)
                ans.d[i][j] += a.d[i][k] * b.d[k][j],ans.d[i][j] %= p;
    ans.n = a.n; ans.m = b.m;
    return ans;
}

matrix Power(matrix a,ll b)
{
    matrix ans; ans.clear(); ans.n = ans.m = 3;
    ans.d[1][1] = ans.d[2][2] = ans.d[3][3] = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld %lld\n",&N,&p);

    S.n = S.m = 3; T.n = 3; T.m = 1;
    S.d[1][2] = S.d[2][2] = S.d[2][3] = S.d[3][3] = T.d[2][1] = T.d[3][1] = 1;

    a = 1;
    while (1)
    {
        a = a * 10;

        S.d[1][1] = a % p;

        ll k = min(a-a/10,N-a/10+1);
        T = Power(S,k) * T;
        if (a > N) break;
    }

    printf("%lld\n",T.d[1][1]);
    
    return 0;
}