Fourier分析基础(二)——由级数导出连续Fourier变换
此处推导参考(照抄) A First Course in Wavelets with Fourier Analysis Second Edition, Albert Boggess& Francis J.Narcowich
由傅立叶级数推广到傅立叶变换只需要一步——求一个极限。
当趋近于正无穷的时候,整个傅立叶级数逆变换(或者叫还原)就成为一个积分,此时正向求参数数列
的式子天然是个积分,只不过此时随着
趋近于正无穷,
从数列变为函数,我们管它叫频谱,一般记作
。
其中:
代入:
注意,我们不妨把后面的指数的一堆塞进去:
然后稍微随便求个极限:
这个时候注意一个地方,就是在发生的时候,
趋近于0,
这个序列的密度在逐渐变大,最后成为连续的一个函数,而且,不论怎么变化,
乘以
的个数总是等于整个实轴
的测度。
好了,那么让我么带进去吧:
进一步计算得到:
这个时候,已经从一个等差数列变成了R,使用一个连续变量称呼它更合适,叫
好了,俗称频率。为了数学上的对称美,把公式改成这样:
这就是傅立叶正变换。
而从再变回
(或者叫
都行,就是换个变量),称之为傅立叶逆变换:
正变换和逆变换差一个指数上的负号,它们必须是共轭的,除此以外,没有任何限制,你完全可以吧正变换当逆变换,逆变换当正变换,效果是一样的,得到的频域函数会稍有不同。而称之为傅立叶核。傅立叶为什么是这个核?主要是因为其具有良好的正交特性,如果有其他函数满足这样的特性,也可以做核。
在实际的数值计算中,我们并不要求函数具有统一的表达式,这个时候可使用Gram-Schmidt方法构造正交函数组进行分解。
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