【代码模板】基础算法

快速排序

while写法

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n;
int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;

    int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    while(i < j)
    {
        while(q[++ i] < x);
        while(q[-- j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    quick_sort(q, 0, n - 1);

    for(int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);
    return 0;
}

do while写法

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n;
int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;

    int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    while(i < j)
    {
        do i ++ ; while(q[i] < x);
        do j -- ; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    quick_sort(q, 0, n - 1);

    for(int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);
    return 0;
}

归并排序

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n;
int q[N], t[N];

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    //分别递归地排序左边和右边
    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1; //定义两个指针i和j，i为左半部分的最小值，j为右半部分的最小值
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(q[i] <= q[j]) t[k ++ ] = q[i ++ ];
        else t[k ++ ] = q[j ++ ];
    }

    //扫尾，下面两个循环只会执行一个，因为另一个已经全部在t数组中了
    while(i <= mid) t[k ++ ] = q[i ++ ];
    while(j <= r) t[k ++ ] = q[j ++ ];

    //将中间数组中已经排好序的结果复制到原数组q[]中
    for(int i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = t[j];
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    merge_sort(q, 0, n - 1);

    for(int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);
    return 0;
}

归并排序求逆序对

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;

int n;
int q[N], t[N];

//因为逆序对的数量最多为n!，即倒序，结果是5*10^9级别的数，大于int的2*10^9，所以用long long
LL merge_sort(int l, int r)
{
    if(l >= r) return 0; //左边界大于等于右边界，逆序对数量为0

    int mid = l + r >> 1;
    LL res = merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r);//记录逆序对的数量

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(q[i] <= q[j]) t[k ++ ] = q[i ++ ];
        else 
        {
            t[k ++ ] = q[j ++ ];
            res += mid - i + 1; //左半部分中比右半部分中的每个数大的数的数量
        }
    }
    //扫尾
    while(i <= mid) t[k ++ ] = q[i ++ ];
    while(j <= r) t[k ++ ] = q[j ++ ];

    //将临时数组中排好序的序列放入原数组q[]
    for(int i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = t[j];
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);
    printf("%lld\n", merge_sort(0, n - 1));
    return 0;
}

整数二分

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

高精度加法

写法一：

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> c;

    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i ++ )
    {
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if(t) c.push_back(1);
    return c;
}

写法二：

//C = A + B;
vector<int> add(vector<int> &A,vector<int> &B)
{
    vector<int> C;

    if(A.size() < B.size()) return add(B,A);

    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);//如果t比10大，则保留个位
        t /= 10;//若t比10大，则进1（即t为1），否则t为0（因为 / 只保留整数部分）
    }
    if(t) C.push_back(1);
    return C;
}

高精度减法

// C = A - B
vector<int> sub(vector<int> &A,vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t = A[i] - t;
        if(i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if(t < 0) t = 1;//判断是否借位，如果小于0的话则要借一位，否则不借位
        else t = 0;
    }

    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去掉前导0，因为可能会出现 00X的结果

    return C;
}

高精度乘法

写法一：

// C = A * b
vector<int> mul(vector<int> &A,int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size(); i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if(t) C.push_back(t);

    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去掉前导0

    return C;
}

写法二：

// C = A * b
vector<int> mul(vector<int> &A,int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || t; i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去掉前导0

    return C;
}

高精度除法

// A / b 商是C 余数是r
vector<int> div(vector<int> &A,int b,int &r)// 这里r传的是引用
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }

    reverse(C.begin(),C.end());

    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

差分

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

位运算

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n
lowbit(x)的作用就是返回这个数二进制形式下的最后一位1，
如lowbit(1010)则返回10,lowbit(1010101000)则返回1000

树状数组中用到了lowbit(x)

双指针算法

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}
常见问题分类：
    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

离散化

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

区间合并

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}