【数学】约数、约数个数、约数之和、最大公约数

约数，外文名：Divisor，别名：因数

简介：
约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。

1.试除法求约数

• \(“d\  | \ n”\)代表的含义是 \(d\) 能整除 \(n\) ，（这里的 \(“|”\) 代表整除）

• 一个合数的约数总是成对出现的，如果 \(d|n\) ，那么 \(\frac{n}{d}|n\)，因此我们求约数的时候，只需要求的那一个数就行了，即只需枚举 \(d<=\frac{n}{d}\)，即 \(d∗d<=n,d<=sqrt(n)\)

vector<int> get_divisors(int n)
{
    vector<int> res;
    for(int i = 1; i <= n / i; i ++ ) // n / i意思就是枚举到根号n
    {
        if(n % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if(i != n / i) res.push_back(n / i); //有可能出现i * i = n的情况，即两个约数相同，我们只保留一个
        }
    }
    sort(res.begin(), res.end());

    return res;
}

2.约数个数
由算术基本定理：任何一个大于1的自然数 ，如果N不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积
\(N=P_1^{a1}P_2^{a2}···P_n^{an}\) ，这里 \(P_1<P_2<···<P_n\)且均为质数，其诸指数是正整数。
即一个非质数必然可以分解为唯一的一组几个质数的积。
证明：

即\(n\)的正整数约数个数为：
\(\prod_{i=1}^n(a_i+1)=(a_1+1)(a_2+1) \ldots (a_n+1)\)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    unordered_map<int,int> primes;
    while(n --)
    {
        int x;
        cin >> x;

        for(int i = 2; i <= x / i; i ++ ) //把x分解，从2开始枚举，枚举到根号x（x/i这里就相当于根号x）
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++; //i的质因数的指数加一
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++; //如果x>1，说明x是一个比较大的质因数，然后把剩下的这个数加上就可以了
        /*回顾之前讲过的性质：一个合数n中最多只包含一个大于根号n的质因子，所以这里只需要特判一下加上最后那个质因子即可*/
    }
    //上面这步做完后，哈希表primes里就存了所有质因数的指数

    LL res = 1;

    //枚举所有质因数
    for(auto c : primes) res = res * (c.second + 1) % mod; //把a1~an的质因子的次数累加起来就可以了

    cout << res << endl;

    return 0;
}

3.约数之和
约数和公式：
上式中每个括号里是每个质数的任意次幂之和。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    unordered_map<int,int> primes;
    while(n --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        
        for(int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++;
    }
    
    LL res = 1;
    for(auto prime : primes)
    {
        int p = prime.first, a = prime.second; //p为底数，a为指数
        LL t = 1;
        
        while(a --) //套公式，从0加到a
        {
            t = (t * p + 1) % mod;
        }
        
        res = res * t % mod;
    }
    
    cout << res << endl;

    return 0;
}

4.最大公约数

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/353613695
https://www.cnblogs.com/BaseAI/p/12056017.html