【数学】欧拉函数的计算公式及其证明

先看这样一个问题：任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以\(φ(n)\)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 \(φ(n)\)= 4。

百度百科定义：在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目.

\(φ(n)\) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
\(（1）\) \(n=1\)，则 \(φ(1) = 1\) 。因为\(1\)与任何数（包括自身）都构成互质关系。
\(（2）\) \(n\)是质数，如果\(n\)是质数，则 \(φ(n)=n-1\) 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
\(（3）\)如果\(n\)是质数的某一个次方，即 \(n = p^k\) (\(p\)为质数，\(k\)为大于等于\(1\)的整数)，则
\(φ(p^k) = p^k - p^{k-1}\)
比如 \(φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4\)。
这是因为只有当一个数不包含质数\(p\)，才可能与\(n\)互质。而包含质数p的数一共有\(p^{k-1}\)个，即\(1×p、2×p、3×p、...、p^{k-1}×p\)，把它们去除，剩下的就是与\(n\)互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式：
\(φ(p^k) = p^k - p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})\)
可以看出，上面的第二种情况是 \(k=1\) 时的特例。
\(（4）\)如果n可以分解成两个互质的整数之积，\(n = p_1 × p_2\)，则\(φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)\)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，\(φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24\)。
这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果\(a\)与\(p_1\)互质\((a<p_1)\)，\(b\)与\(p_2\)互质\((b<p_2)\)，\(c\)与\(p_1p_2\)互质\((c<p_1p_2)\)，则\(c\)与数对 \((a,b)\) 是一一对应关系。由于\(a\)的值有\(φ(p_1)\)种可能，\(b\)的值有\(φ(p_2)\)种可能，则数对 \((a,b)\) 有\(φ(p_1)φ(p_2)\)种可能，而\(c\)的值有\(φ(p_1p_2)\)种可能，所以\(φ(p_1p_2)\)就等于\(φ(p_1)φ(p_2)\)。
\(（5）\)因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}\)
根据第4条的结论，得到\(φ(n) = φ(p1p2) = φ(p_1^{k_1})φ(p_2^{k_2})\ldots φ(p_n^{k_n})\)
再根据第3条的结论，得到\(φ(n)=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots (1-\frac{1}{p_n})\)
也就等于：
\(φ(n) =n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots (1-\frac{1}{p_n})\)
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：
\(φ(1323) = φ(3^3 \times 7^2) = 1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7}) = 756\)

参考博客：https://blog.csdn.net/paxhujing/article/details/51353672