先看这样一个问题:任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)
计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n)= 4。
百度百科定义:在数论中,对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目.
φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。
(1) n=1,则 φ(1)=1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。
(2) n是质数,如果n是质数,则 φ(n)=n−1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
(3)如果n是质数的某一个次方,即 n=pk (p为质数,k为大于等于1的整数),则
φ(pk)=pk−pk−1
比如 φ(8)=φ(23)=23−22=8−4=4。
这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有pk−1个,即1×p、2×p、3×p、...、pk−1×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式:
φ(pk)=pk−pk−1=pk(1−1p)
可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
(4)如果n可以分解成两个互质的整数之积,n=p1×p2,则φ(n)=φ(p1p2)=φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到"中国剩余定理",这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
(5)因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。
n=pk11pk22…pknn
根据第4条的结论,得到φ(n)=φ(p1p2)=φ(pk11)φ(pk22)…φ(pknn)
再根据第3条的结论,得到φ(n)=pk11pk22…pknn(1−1p1)(1−1p2)…(1−1pn)
也就等于:
φ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)…(1−1pn)
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:
φ(1323)=φ(33×72)=1323(1−13)(1−17)=756
参考博客:https://blog.csdn.net/paxhujing/article/details/51353672
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